Num triângulo retângulo ABC com ângulo C = 90°, tem-se AC = x+3 e BC = 2x-1. A hipotenusa AB mede 17…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo ABC com ângulo C = 90°, tem-se AC = x+3 e BC = 2x-1. A hipotenusa AB mede 17. Determine x.
- A) x = (-1 + 2v349)/5 ˜ 7,273
- B) x = 10
- C) x = 0
- D) x = 5
- E) x = 15
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Pelo teorema de Pitágoras, como o ângulo C é reto, a hipotenusa AB é o lado oposto a C: AB^2 = AC^2 + BC^2. Passo 2: Substituindo os dados, (x+3)^2 + (2x-1)^2 = 17^2, ou seja, 289. Passo 3: Desenvolvendo, x^2 + 6x + 9 + 4x^2 - 4x + 1 = 289, o que dá 5x^2 + 2x + 10 = 289. Passo 4: Simplificando, 5x^2 + 2x - 279 = 0. Passo 5: Pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é Delta = 2^2 + 4 * 5 * 279 = 5584 = 16 * 349, então a raiz quadrada de Delta é 4 * raiz de 349. Passo 6: As raízes são x = (-2 ± 4 * raiz de 349) / 10 = (-1 ± 2 * raiz de 349) / 5. Como x é um comprimento de lado, BC = 2x - 1 e AC = x + 3 devem ser positivos, então x deve ser positivo; a raiz negativa é descartada. Logo x = (-1 + 2 * raiz de 349) / 5, que é aproximadamente 7,273. Passo 7: Conferindo, AC = 10,273 e BC = 13,545; 10,273^2 + 13,545^2 é aproximadamente 289. Passo 8: Por que as outras estão erradas: B (x = 10) dá AC = 13 e BC = 19, com 169 + 361 = 530, diferente de 289; C (x = 0) dá BC = -1, uma medida negativa, impossível; D (x = 5) dá AC = 8 e BC = 9, com 64 + 81 = 145, diferente de 289; E (x = 15) dá AC = 18 e BC = 29, com 324 + 841 = 1165, diferente de 289. Passo 9: O gabarito oficial A está correto. Observação: na alternativa A, o texto 'v349' é a raiz quadrada de 349 e '˜' significa aproximadamente.
💡 Dica: Aplique o Teorema de Pitágoras para encontrar x.
Alternativa por alternativa
Pelo Pitágoras: (x+3)²+(2x-1)²=17² ?5x²+2x-279=0. Solução positiva: x = (-2 + 4v349)/10 = (-1+2v349)/5.
O aluno testa um valor inteiro 'redondo' sem verificar a condição de Pitágoras e supõe que qualquer número que cabe no enunciado serve. Ele não substitui x na equação da hipotenusa.
Por que engana: Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, não isolando corretamente a variável x na equação resultante.
O aluno escolhe x = 0 por intuição, sem perceber que BC = 2x - 1 fica negativo, o que é impossível para uma medida de comprimento.
O aluno confunde Pitágoras com soma: percebe que 8 + 9 = 17 e conclui que os catetos somam a hipotenusa. A relação correta envolve quadrados dos catetos.
O aluno chuta um valor maior, supondo que, como a hipotenusa é grande, os catetos também devem ser grandes, e não verifica a equação. Ele não resolve a equação de segundo grau.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · equações do 1º grau
Revisar o Teorema de Pitágoras e resolução de equações.
Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, não isolando corretamente a variável x na equação resultante.
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cientifico
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