No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, os comprimentos dos lados são AC = x + 2, BC = 3x - 1 e AB = 2x + 5…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, os comprimentos dos lados são AC = x + 2, BC = 3x - 1 e AB = 2x + 5. Determine o valor de x.
- A) x = 3
- B) x = 5
- C) x = (11 + v241) / 6 (˜ 4,4207)
- D) x = 6
- E) x = 2
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como o ângulo C é reto, o lado oposto a ele, AB, é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras, AB^2 = AC^2 + BC^2. Passo 2: Substituindo os valores: (2x+5)^2 = (x+2)^2 + (3x-1)^2. Passo 3: Desenvolvendo: 4x^2 + 20x + 25 = (x^2 + 4x + 4) + (9x^2 - 6x + 1), ou seja, 4x^2 + 20x + 25 = 10x^2 - 2x + 5. Passo 4: Passando tudo para um lado: 6x^2 - 22x - 20 = 0, que simplificado por 2 fica 3x^2 - 11x - 10 = 0. Passo 5: Aplicando Bhaskara, o discriminante é Delta = 121 + 120 = 241, e as raízes são x = (11 + raiz de 241)/6 e x = (11 - raiz de 241)/6. Passo 6: A raiz negativa, (11 - raiz de 241)/6, é aproximadamente -0,75 e não serve, pois os comprimentos de lados devem ser positivos. A raiz positiva, (11 + raiz de 241)/6, é aproximadamente 4,42, e para ela os três lados são positivos (AC = 6,42; BC = 12,26; AB = 13,84). Passo 7: Conferindo: 6,42^2 + 12,26^2 é aproximadamente 41,2 + 150,3 = 191,5, e 13,84^2 é aproximadamente 191,5. Logo, a alternativa C está correta e coincide com o gabarito oficial. Passo 8: Por que as outras estão erradas: A) x = 3 dá AC = 5, BC = 8 e AB = 11, e 25 + 64 = 89 é diferente de 121. B) x = 5 dá AC = 7, BC = 14 e AB = 15, e 49 + 196 = 245 é diferente de 225. D) x = 6 dá AC = 8, BC = 17 e AB = 17, e 64 + 289 = 353 é diferente de 289. E) x = 2 dá AC = 4, BC = 5 e AB = 9, e 16 + 25 = 41 é diferente de 81.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para resolver a equação.
Alternativa por alternativa
Testou um valor inteiro por tentativa e, ao substituir x = 3 e verificar Pitágoras, não conferiu a soma dos quadrados; também pode ter assumido que a resposta deveria ser um número inteiro.
Provavelmente errou no desenvolvimento dos quadrados, por exemplo em (3x-1)^2 ou (2x+5)^2, o que levou a uma equação incorreta que aceitou x = 5.
Por que engana: Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, somando os lados ao invés de igualar a soma dos quadrados dos catetos ao quadrado da hipotenusa.
Aplicando o Teorema de Pitágoras: (x+2)²+(3x-1)²=(2x+5)². Expandindo e simplificando obtém-se 3x²-11x-10=0, cuja solução positiva é x=(11+v241)/6.
Acreditou que, por parecer natural, os lados AB e BC deveriam ser iguais (isósceles), e por isso igualou 2x+5 e 3x-1 sem justificativa, chegando a x = 6.
Aplicou a relação de Pitágoras incorretamente, possivelmente sem identificar AB como hipotenusa ou sem elevar os termos ao quadrado corretamente, o que levou a x = 2.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · equações do 1º grau
Revisar o teorema de Pitágoras e resolução de equações.
Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, somando os lados ao invés de igualar a soma dos quadrados dos catetos ao quadrado da hipotenusa.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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