No triângulo retângulo ABC o ângulo reto é em B. Os catetos medem AB = x+3 e BC = 2x-1, e a hipotenusa AC =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC o ângulo reto é em B. Os catetos medem AB = x+3 e BC = 2x-1, e a hipotenusa AC = 13. Modele a situação pelo Teorema de Pitágoras, resolva a equação para x e determine as medidas dos catetos, justificando a escolha da raiz.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Aplicando Pitágoras: (x+3)^2 + (2x-1)^2 = 13^2. Expandindo: x^2+6x+9 + 4x^2-4x+1 = 169 ? 5x^2+2x+10 = 169 ? 5x^2+2x-159 = 0. Discriminante: ? = 2^2 -4·5·(-159) = 4 + 3180 = 3184 = 16·199. Logo v? = 4v199. Solução: x = [-2 ± 4v199]/10 = (-1 ± 2v199)/5. A raiz positiva é x = (-1 + 2v199)/5 ˜ 5,442694 (a outra é negativa e rejeitada). Então AB = x+3 ˜ 8,442694 cm e BC = 2x-1 ˜ 9,885388 cm. (Também pode expressar exatamente: x = (-1+2v199)/5, AB = (14+2v199)/5, BC = (-5+4v199)/5.)
Explicação
A aplicação do Teorema de Pitágoras permite estabelecer a relação entre os lados do triângulo retângulo, resultando em uma equação quadrática que é resolvida para encontrar o valor de x. A escolha da raiz positiva é justificada pela necessidade de obter medidas físicas, que não podem ser negativas. As medidas dos catetos são então calculadas a partir do valor de x encontrado, garantindo que sejam compatíveis com as propriedades do triângulo.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras
avaliacao
teorema de pitagoras · equacoes do 1º grau
Revisar a aplicação do Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
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