No plano cartesiano, A(1,2), B(1,y) e C(5,2) formam um triângulo retângulo em A. Se BC = 10, determine as…

Questão

No plano cartesiano, A(1,2), B(1,y) e C(5,2) formam um triângulo retângulo em A. Se BC = 10, determine as possíveis coordenadas y de B.

1. A) y = 4
2. B) y = 10
3. C) y = 5
4. D) y = 2 ± 2v21
5. E) y = 0

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique a geometria. A(1,2) e C(5,2) têm a mesma ordenada 2, então AC é horizontal. B(1,y) tem abscissa 1, igual à de A, então AB é vertical. Logo AB e AC são perpendiculares e o ângulo em A é reto para qualquer valor de y, desde que B seja diferente de A (y diferente de 2). Passo 2: Calcule o comprimento de BC pela distância entre dois pontos: BC = raiz de [(5-1)^2 + (2-y)^2] = raiz de [16 + (y-2)^2]. Passo 3: Iguale a 10: raiz de [16 + (y-2)^2] = 10, então 16 + (y-2)^2 = 100, portanto (y-2)^2 = 84. Passo 4: Tire a raiz quadrada dos dois lados: y - 2 = ± raiz de 84 = ± 2 raiz de 21. Assim y = 2 ± 2 raiz de 21, que são os dois valores possíveis, um acima e outro abaixo de 2. Passo 5: Conferência. Para y = 2 + 2 raiz de 21 ou y = 2 - 2 raiz de 21, a distância BC é 10, e o triângulo é retângulo em A. Por isso a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A) y = 4 daria BC = raiz de 20, não 10. B) y = 10 daria BC = raiz de 80, não 10, pois o valor 10 de BC foi confundido com a coordenada. C) y = 5 daria BC = 5, valor que só coincide com a hipotenusa do terno 3-4-5, sem relação com BC = 10. E) y = 0 daria BC = raiz de 20, não 10.

💡 Dica: Use a distância entre B e C e a condição de ângulo reto em A para montar as equações.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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