No plano cartesiano, sejam A(1,1), B(13,1) e C(1,10). a) Mostre que AB é perpendicular a AC. b) Calcule o…

Questão

No plano cartesiano, sejam A(1,1), B(13,1) e C(1,10). a) Mostre que AB é perpendicular a AC. b) Calcule o ponto médio M de BC. c) Seja D em AB tal que AD = 4. A reta por D paralela a BC intercepta AC em E. Determine as coordenadas de D e E e calcule a distância DE, justificando o uso do teorema de Pitágoras e de relações de proporcionalidade entre segmentos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) AB é horizontal (mesma ordenada y=1) e AC é vertical (mesma abcissa x=1); então AB ? AC. b) B(13,1), C(1,10) ? M = ((13+1)/2, (1+10)/2) = (7, 5.5). c) AB tem comprimento 12 (de x=1 a x=13). Como AD = 4, D = (1+4, 1) = (5,1). Em ?ABC, a reta por D paralela a BC gera triângulos semelhantes ?ADE ~ ?ABC; logo AD/AB = AE/AC. AD/AB = 4/12 = 1/3, e AC = 9 (de y=1 a y=10), então AE = 9·(1/3) = 3. Como AC é vertical, E = (1, 1+3) = (1,4). Para DE: ?ADE tem catetos AD = 4 e AE = 3, pelo teorema de Pitágoras DE = v(AD^2 + AE^2) = v(4^2+3^2) = v(16+9) = 5. Portanto DE = 5.

Explicação

A análise das coordenadas dos pontos A, B e C demonstra que as retas AB e AC são perpendiculares devido à sua orientação horizontal e vertical, respectivamente. O cálculo do ponto médio M entre B e C é feito pela média aritmética das coordenadas, enquanto a determinação dos pontos D e E utiliza propriedades de triângulos semelhantes e a relação de proporcionalidade entre os segmentos. A aplicação do teorema de Pitágoras para encontrar a distância DE é justificada pela formação de um triângulo retângulo entre os pontos D, E e A.

Raio-X da questão

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