Uma TV tem proporção 16:9 e diagonal de 65 polegadas. Se largura=16k e altura=9k, determine a largura e a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma TV tem proporção 16:9 e diagonal de 65 polegadas. Se largura=16k e altura=9k, determine a largura e a altura (em polegadas) usando Pitágoras.
- A) Largura ˜ 65,00 in; Altura ˜ 36,56 in
- B) Largura ˜ 56,65 in; Altura ˜ 31,87 in
- C) Largura ˜ 41,60 in; Altura ˜ 23,40 in
- D) Largura ˜ 115,56 in; Altura ˜ 65,00 in
- E) Largura ˜ 31,87 in; Altura ˜ 56,65 in
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela largura e pela altura. Logo, (16k)^2 + (9k)^2 = 65^2. Passo 2: Desenvolvendo, 256k^2 + 81k^2 = 4225, ou seja, 337k^2 = 4225. Passo 3: Isolando k, k^2 = 4225/337, que é aproximadamente 12,537. Então k é aproximadamente 3,5408 (raiz quadrada de 12,537). Passo 4: Calculando as dimensões, largura = 16k, que é aproximadamente 56,65 polegadas, e altura = 9k, que é aproximadamente 31,87 polegadas. Passo 5: Conferindo, 56,65^2 + 31,87^2 é aproximadamente 3209,2 + 1015,7 = 4224,9, que é praticamente 65^2 = 4225. Passo 6: Comparando com o gabarito oficial, a resposta correta é a B, que coincide com o resultado obtido. Por que as outras estão erradas: A) usa a diagonal como largura, o que não respeita a diagonal de 65 polegadas; C) divide a diagonal linearmente em partes proporcionais a 16 e 9 (16/25 e 9/25), sem aplicar Pitágoras; D) trata a diagonal como altura, o que contraria a definição de diagonal; E) inverte largura e altura, trocando a proporção 16:9 por 9:16.
💡 Dica: Use o Teorema de Pitágoras para encontrar k e depois calcule 16k e 9k.
Alternativa por alternativa
Assume que a largura é igual à diagonal inteira, de 65 polegadas, e calcula a altura a partir daí, sem usar a relação 16:9 e sem verificar a hipotenusa.
Por que engana: O aluno pode usar a diagonal como largura ou altura, ou calcular k sem considerar que a diagonal é a hipotenusa do triângulo formado pelas dimensões da tela.
Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal satisfaz (16k)^2+(9k)^2=65^2. Assim, k=65/sqrt(337), e as dimensões são aproximadamente 56,65 polegadas de largura e 31,87 polegadas de altura.
Distribui a diagonal linearmente em proporção às partes 16 e 9 (65 vezes 16/25 e 65 vezes 9/25), ignorando que a diagonal se relaciona com os catetos pelo Teorema de Pitágoras e não por soma.
Toma a diagonal como se fosse a altura e calcula a largura apenas pela razão 16/9, sem perceber que a diagonal é a hipotenusa e deve ser maior que cada lado.
Troca as medidas de largura e altura, invertendo a proporção para 9:16, o que faz a largura ficar menor que a altura em uma TV que deveria ser mais larga.
Raio-X da questão
Proporção e Teorema de Pitágoras
avaliacao
Teorema de Pitágoras · Razões e proporções
Revise a relação entre os lados de um triângulo retângulo e sua hipotenusa, além da resolução de proporções.
O aluno pode usar a diagonal como largura ou altura, ou calcular k sem considerar que a diagonal é a hipotenusa do triângulo formado pelas dimensões da tela.
tomada_decisao
cotidiano
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