Seja o triângulo ABC e a reta DE paralela a BC, com D em AB e E em AC. Prove que a razão entre as áreas dos…

Questão

Seja o triângulo ABC e a reta DE paralela a BC, com D em AB e E em AC. Prove que a razão entre as áreas dos triângulos ADE e ABC é igual ao quadrado da razão AD/AB, ou seja: area(ADE)/area(ABC) = (AD/AB)².

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como DE ? BC, os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Seja k = AD/AB = AE/AC a razão linear de semelhança. A razão entre áreas de triângulos semelhantes é o quadrado da razão linear; portanto area(ADE)/area(ABC) = k². Substituindo k = AD/AB obtém-se area(ADE)/area(ABC) = (AD/AB)². Esta conclusão decorre da igualdade das alturas relativas às bases proporcionais e da multiplicação da base pela respectiva altura.

Explicação

Os triângulos ADE e ABC são semelhantes devido à paralelidade das retas, o que implica que suas proporções lineares são iguais. A razão entre as áreas dos triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança, que neste caso é representada pela relação AD/AB. Assim, a relação entre as áreas se expressa como (AD/AB)², confirmando a afirmação proposta.

Raio-X da questão

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