Em uma campanha de monitoramento ambiental, foram realizadas 30 medições independentes da temperatura de um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar resultados e realizar previsões sobre atividades experimentais, fenômenos naturais e processos tecnológicos, com base nas noções de probabilidade e incerteza, reconhecendo os limites explicativos das ciências.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma campanha de monitoramento ambiental, foram realizadas 30 medições independentes da temperatura de um trecho de rio. A média das medições foi 22,6 °C, e o desvio padrão amostral foi 0,50 °C. Para analisar a incerteza da média, os pesquisadores decidiram usar a aproximação normal para a distribuição da média amostral, cujo erro-padrão pode ser estimado por s/vn. Suponha que a temperatura média verdadeira do trecho de rio seja µ = 22,4 °C. Com base nos dados e na aproximação normal, qual é aproximadamente a probabilidade de que, em uma amostra de 30 medições, a média amostral seja maior ou igual a 22,6 °C?
- A) P( x̄ ≥ 22,6 °C | μ = 22,4 °C ) ≈ 0,986 (98,6%)
- B) P( x̄ ≥ 22,6 °C | μ = 22,4 °C ) ≈ 0,500 (50,0%)
- C) P( x̄ ≥ 22,6 °C | μ = 22,4 °C ) ≈ 0,014 (1,4%)
- D) P( x̄ ≥ 22,6 °C | μ = 22,4 °C ) ≈ 0,345 (34,5%)
- E) P( x̄ ≥ 22,6 °C | μ = 22,4 °C ) ≈ 0,023 (2,3%)
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o parâmetro relevante. A média amostral tem erro-padrão estimado por s/raiz de n, ou seja, 0,50/raiz de 30 = 0,50/5,477 ≈ 0,0913 °C.
- Calcule o escore z padronizando a média observada 22,6 °C em relação à média verdadeira 22,4 °C: z = (22,6 - 22,4)/0,0913 ≈ 0,2/0,0913 ≈ 2,19.
- Calcule a probabilidade pedida, que é a cauda superior: P(Z ≥ 2,19) = 1 - P(Z ≤ 2,19) ≈ 1 - 0,9857 ≈ 0,014, ou seja, cerca de 1,4%.
- Conclusão. A resposta correta é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Não há divergência.
- Por que as outras estão erradas:
- A: 0,986 é a probabilidade da cauda inferior, P(Z ≤ 2,19), e não a de a média ser maior ou igual a 22,6 °C.
- B: 0,500 não se aplica, pois 22,6 °C não é a média verdadeira (22,4 °C) e a distribuição não é centrada no valor observado.
- D: 0,345 corresponderia a z ≈ 0,40, obtido ao usar o desvio padrão 0,50 sem dividir pela raiz de n.
- E: 0,023 corresponderia a z = 2,0, obtido ao arredondar raiz de 30 para 5 de forma grosseira, o que subestima o erro-padrão.
💡 Dica: Utilize a distribuição normal para calcular a probabilidade.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula corretamente o escore z, mas toma a área da cauda inferior (P(Z ≤ 2,19)) como resposta, invertendo o sentido da desigualdade.
O aluno acredita que, por o valor 22,6 °C ser a média observada, a probabilidade de a média amostral ser maior ou igual a ele seria 50%, como em uma distribuição centrada nesse valor.
O erro-padrão da média é s/√n = 0,50/√30 ≈ 0,091 °C. Assim, o escore padronizado é z = (22,6 − 22,4)/0,091 ≈ 2,19. Pela distribuição normal padrão, a probabilidade de obter z ≥ 2,19 é aproximadamente 0,014, ou 1,4%. A hipótese μ = 22,4 °C torna a probabilidade bem definida, pois ela se refere à variação da média amostral em amostras repetidas, e não à probabilidade de um parâmetro fixo.
O aluno padroniza usando o desvio padrão amostral (0,50) em vez do erro-padrão s/raiz de n, obtendo z ≈ 0,40 e probabilidade ≈ 0,345.
Por que engana: O aluno pode confundir a interpretação da média amostral com a média populacional, levando a um cálculo incorreto da probabilidade.
O aluno chega a um z próximo de 2,0 por arredondar raiz de 30 para 5 no cálculo do erro-padrão, o que altera o resultado e leva a uma probabilidade de cerca de 0,023.
Raio-X da questão
distribuição normal
avaliacao
distribuição normal · cálculo de probabilidades
Revisar conceitos de média, desvio padrão e distribuição normal.
O aluno pode confundir a interpretação da média amostral com a média populacional, levando a um cálculo incorreto da probabilidade.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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