Uma escada de 10 m encosta numa parede formando um triângulo retângulo com base x e altura h. Se a base da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escada de 10 m encosta numa parede formando um triângulo retângulo com base x e altura h. Se a base da escada é deslocada 2 m para longe da parede, a extremidade superior desce 1,5 m e a escada continua encostada. Determine a altura inicial h alcançada pela escada.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Modelo e resolução: Seja x a distância da base à parede e h a altura inicial. Do primeiro posicionamento: x² + h² = 10² = 100. Do segundo posicionamento: (x+2)² + (h-1{,}5)² = 100. Subtraindo as equações: (x+2)²-x² + (h-1{,}5)²-h² = 0 ? 4x+4 -3h +2{,}25 = 0 ? 4x - 3h + 6{,}25 = 0 ? x = (3h - 6{,}25)/4. Substituindo em x² + h² = 100: ((3h - 6{,}25)/4)² + h² = 100. Multiplicando por 16 e simplificando obtém-se a equação quadrática: 16h² - 24h - 999 = 0. ? = (-24)² - 4·16·(-999) = 576 + 64536 = 64512 = (32)²·63 ? v? = 32v63. Assim h = (24 ± 32v63)/32 = 3/4 ± v63. Tomando a solução positiva: h = 3/4 + v63 ˜ 0{,}75 + 7{,}937 ˜ 8{,}687 m. A altura inicial alcançada pela escada é h = 3/4 + v63 ˜ 8,687 m (aproximadamente).
Explicação
A resolução utiliza o Teorema de Pitágoras para estabelecer duas equações que representam as posições da escada antes e depois do deslocamento. A subtração das equações permite isolar uma variável, facilitando a resolução da equação quadrática resultante. A solução positiva da equação fornece a altura inicial da escada, que é a informação solicitada.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
pensamento_critico
cotidiano
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