Matemática3º anoBNCC EF03MA15Difícil⏱ longo

Em um triângulo retângulo ABC o ângulo reto é em C. A hipotenusa AB mede 50 m e os catetos satisfazem AC =…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF03MA15

Classificar e comparar figuras planas (triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e paralelogramo) em relação a seus lados (quantidade, posições relativas e comprimento) e vértices.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em um triângulo retângulo ABC o ângulo reto é em C. A hipotenusa AB mede 50 m e os catetos satisfazem AC = 2·BC. Seja D ponto em AB tal que AD:DB = 2:3. A reta por D paralela a AC intercepta BC em E. Calcule, por procedimentos algébricos e geométricos, (a) as medidas exatas de BC e AC, (b) a medida do segmento BE e (c) a área do triângulo ABC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja BC = b. Então AC = 2b e, pela relação de Pitágoras, AB = v(b² + (2b)²) = v(5b²) = bv5. Como AB = 50, tem-se bv5 = 50 ? b = 50/v5 = 10v5. Assim BC = 10v5 e AC = 2·10v5 = 20v5. Para encontrar BE, coloque C na origem e eixos de modo que A = (AC,0) = (20v5,0) e B = (0,BC) = (0,10v5). O ponto D divide AB na razão AD:DB = 2:3, portanto D = A + (2/5)(B-A) = (20v5,0) + (2/5)(-20v5,10v5) = (12v5,4v5). A reta por D paralela a AC é horizontal (mesma ordenada), logo intersecta BC (eixo x = 0) em E = (0,4v5). Assim BE = |10v5 - 4v5| = 6v5. A área do triângulo é (AC·BC)/2 = (20v5 · 10v5)/2 = (200·5)/2 = 500 (m²). Portanto: BC = 10v5 m, AC = 20v5 m, BE = 6v5 m e área = 500 m².

Explicação

A solução utiliza a relação de Pitágoras para determinar as medidas dos catetos em função de uma variável, garantindo que a hipotenusa permaneça constante. O cálculo do ponto D e a interseção da reta paralela com BC são feitos de forma precisa, utilizando coordenadas para facilitar a visualização e o cálculo. A área do triângulo é encontrada com a fórmula padrão, confirmando as medidas obtidas anteriormente.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Analisar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 desafio

🎯 Conceito central

triângulo retângulo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

propriedades do triângulo retângulo · razão entre segmentos

📚 Reveja

Revisar o Teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos semelhantes.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as relações entre os catetos e a hipotenusa, não aplicando corretamente o teorema de Pitágoras.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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