Num triângulo retângulo, o cateto adjacente ao ângulo agudo a mede 12 cm e a = 30°. Calcule a hipotenusa.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, o cateto adjacente ao ângulo agudo a mede 12 cm e a = 30°. Calcule a hipotenusa.
- A) hipotenusa = 8v3 cm
- B) hipotenusa = 5v3 cm
- C) hipotenusa = 10 cm
- D) hipotenusa = 12v3 cm
- E) hipotenusa = 20 cm
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identificar os dados. O cateto adjacente ao ângulo de 30° mede 12 cm e a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Queremos a hipotenusa, então a relação adequada é o cosseno: cos(30°) = cateto adjacente / hipotenusa.
- Montar a equação. Sabemos que cos(30°) = raiz de 3 / 2. Logo, raiz de 3 / 2 = 12 / hipotenusa.
- Isolar a hipotenusa. Hipotenusa = 12 / (raiz de 3 / 2) = 24 / raiz de 3.
- Racionalizar o denominador. Multiplicando numerador e denominador por raiz de 3: 24 / raiz de 3 = 24 raiz de 3 / 3 = 8 raiz de 3 cm.
- Conferir. Como 8 raiz de 3 é aproximadamente 13,86 cm, a hipotenusa é maior que o cateto de 12 cm, como deve ser em um triângulo retângulo. Assim, a resposta correta é a alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. B (5 raiz de 3) não corresponde à divisão correta de 24 por raiz de 3. C (10 cm) seria menor que o cateto de 12 cm, o que é impossível na hipotenusa. D (12 raiz de 3) é o resultado de multiplicar 12 por raiz de 3, operação que não representa a relação do cosseno. E (20 cm) não decorre de nenhuma relação trigonométrica aplicável aos dados.
💡 Dica: Use o cosseno de 30° como a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Alternativa por alternativa
cos30° = v3/2 = adjacente/hipotenusa ? hipotenusa = 12 /(v3/2) = 24/v3 = 8v3 cm.
O aluno provavelmente errou no cálculo ao dividir 24 por raiz de 3 ou na racionalização, chegando a um coeficiente sem relação com o resultado correto de 8 raiz de 3.
O aluno provavelmente não aplicou nenhuma relação trigonométrica e assumiu que a hipotenusa seria igual a 10 cm, valor que é menor que o cateto de 12 cm, o que contraria a propriedade de que a hipotenusa é o maior lado.
O aluno provavelmente multiplicou 12 por raiz de 3 em vez de dividir, o que equivale a usar a tangente de 30° (1 / raiz de 3) no lugar do cosseno (raiz de 3 / 2).
Por que engana: Pode inverter a razão do cosseno e multiplicar o cateto adjacente por cos 30°, em vez de dividir por esse valor para encontrar a hipotenusa.
O aluno provavelmente não aplicou corretamente a razão trigonométrica e chegou a um valor inteiro arbitrário, sem base no cálculo com raiz de 3, confundindo a relação com valores de ângulos notáveis.
Raio-X da questão
Razões trigonométricas no triângulo
avaliacao
Definição de cosseno · Razões entre lados
Revise a definição de cosseno e os valores notáveis dos ângulos.
Pode inverter a razão do cosseno e multiplicar o cateto adjacente por cos 30°, em vez de dividir por esse valor para encontrar a hipotenusa.
tomada_decisao
abstrato
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