Em uma instalação artística ao ar livre, uma escultura vertical de 4 m projeta uma sombra no piso plano. Em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma instalação artística ao ar livre, uma escultura vertical de 4 m projeta uma sombra no piso plano. Em dois registros, os raios de luz fazem ângulos de elevação de 30° e 45° em relação ao piso. Para cada registro, a altura da escultura permanece a mesma, e a sombra forma com ela um triângulo retângulo. Com base nesse modelo, qual é a consequência da elevação do ângulo de 30° para 45° sobre o comprimento da sombra?
- A) O comprimento diminui de 6 m para 4 m, uma redução de 2 m.
- B) O comprimento aumenta de 4/raiz quadrada de 3 m para 4 m, um aumento de 4 - 4/raiz quadrada de 3 m.
- C) O comprimento diminui de 4 raiz quadrada de 3 m para 4 m, uma redução de 4 raiz quadrada de 3 - 4 m.
- D) O comprimento diminui de 4 raiz quadrada de 3 m para 2 m, uma redução de 4 raiz quadrada de 3 - 2 m.
- E) O comprimento diminui de 8 m para 4 m, uma redução de 4 m.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A altura da escultura é o cateto oposto ao ângulo de elevação, e o comprimento da sombra é o cateto adjacente. Portanto, tan(ângulo) = 4/comprimento da sombra.
- Para 30°, tan(30°) = 1/raiz quadrada de 3, então a sombra mede 4 raiz quadrada de 3 m.
- Para 45°, tan(45°) = 1, então a sombra mede 4 m. Assim, ela diminui em 4 raiz quadrada de 3 - 4 m, como afirma a alternativa C.
- A está errada porque atribui 6 m à sombra de 30°. B inverte o sentido da mudança e usa medidas incorretas. D calcula incorretamente a sombra para 45°, que mede 4 m, não 2 m. E usa 8 m como comprimento inicial, mas para 30° o valor é 4 raiz quadrada de 3 m.
💡 Dica: Use tan(ângulo) = altura/sombra; compare as sombras para 30° e 45°.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter calculado ou estimado a sombra para 30° como 6 m, em vez de aplicar a relação entre tangente, altura e sombra. Também deixa de considerar corretamente a medida para 45°.
O aluno pode ter trocado os comprimentos correspondentes aos ângulos: a sombra é maior em 30° do que em 45°, não menor. Além disso, 4/raiz quadrada de 3 m não é o comprimento para 30°.
A altura é o cateto oposto e a sombra é o cateto adjacente, então tan(ângulo) = 4/comprimento da sombra. Para 30°, a sombra mede 4 raiz quadrada de 3 m; para 45°, mede 4 m. Portanto, ela diminui em 4 raiz quadrada de 3 - 4 m.
O aluno identifica que a sombra diminui, mas calcula como 2 m a sombra para 45°. Como tan(45°) = 1, a sombra tem o mesmo comprimento da altura: 4 m.
O aluno pode ter usado 8 m como sombra para 30°, talvez duplicando a altura sem justificativa trigonométrica. O comprimento correto nesse ângulo é 4 raiz quadrada de 3 m.
Por que engana: Inverter a razão da tangente e calcular a altura dividida pelo ângulo ou usar a razão inversa para a sombra.
Raio-X da questão
Razões trigonométricas em triângulo retângulo: tangente.
fixacao
Identificação dos catetos oposto e adjacente em triângulo retângulo. · Valores notáveis de seno, cosseno e tangente.
Tangente de 30° e de 45°.
Inverter a razão da tangente e calcular a altura dividida pelo ângulo ou usar a razão inversa para a sombra.
cotidiano
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