Matemática9º anoBNCC EF09MA13Difícil⏱ longo

Disserte e demonstre, usando semelhança de triângulos gerada pela altura ao vértice do ângulo reto, as três…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA13

Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Disserte e demonstre, usando semelhança de triângulos gerada pela altura ao vértice do ângulo reto, as três relações métricas em um triângulo retângulo ABC com ?C = 90° e H projeção de C sobre AB: AC² = AB·AH, BC² = AB·HB e CH² = AH·HB. Apresente argumentação passo a passo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere ?ABC com ?C=90° e CH?AB em H. Os triângulos ?ACH e ?ABC são semelhantes (ângulos iguais em A e ângulos retos), logo AC/AB = AH/AC ? AC² = AB·AH. Analogamente, ?BCH ~ ?ABC dá BC/AB = HB/BC ? BC² = AB·HB. Por fim, ?CH A e ?CHB são semelhantes entre si, resultando em CH² = AH·HB. Essas igualdades seguem diretamente das proporções obtidas pela semelhança dos triângulos formados pela altura, e somadas levam ao Teorema de Pitágoras: AC²+BC² = AB·(AH+HB) = AB·AB = AB².

Explicação

A explicação utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações proporcionais entre os lados do triângulo retângulo e suas projeções. Cada relação métrica é derivada da comparação de lados correspondentes em triângulos semelhantes, permitindo a dedução das igualdades. Por fim, a soma das relações leva à confirmação do Teorema de Pitágoras, demonstrando a interconexão entre as propriedades dos triângulos retângulos.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Criar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

semelhança de triângulos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

semelhança de triângulos · propriedades de triângulos retângulos

📚 Reveja

Revisar as relações métricas em triângulos retângulos.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as relações métricas, aplicando a fórmula errada ou não reconhecendo a semelhança correta entre os triângulos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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