Duas retas paralelas são cortadas por duas transversais. Na primeira transversal, o segmento entre as…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Duas retas paralelas são cortadas por duas transversais. Na primeira transversal, o segmento entre as paralelas mede 4 cm e o segmento adjacente mede 1 cm. Na segunda transversal, esses segmentos medem (x²-1) cm e (x-1) cm, respectivamente. Determine x.
- A) x = 1
- B) x = 0
- C) x = 3
- D) x = 5
- E) x = 4
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Pelo Teorema de Tales, num feixe de retas paralelas cortadas por transversais, a razão entre os segmentos de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra. Passo 2: Na primeira transversal, a razão é 4 cm / 1 cm = 4. Passo 3: Na segunda transversal, a proporção deve ser (x²-1)/(x-1) = 4. Passo 4: Fatorando o numerador, x²-1 = (x-1)(x+1). Como x-1 não pode ser zero (um segmento de comprimento zero não existe), é possível cancelar (x-1) e obter x+1 = 4, logo x = 3. Passo 5: Verificação: para x = 3, temos x²-1 = 8 cm e x-1 = 2 cm, e 8/2 = 4, que é a mesma razão da primeira transversal. Portanto x = 3 é a solução. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (x = 1) anula os dois segmentos, o que é impossível; a alternativa B (x = 0) dá x²-1 = -1, um comprimento negativo; a alternativa D (x = 5) dá 24/4 = 6, diferente de 4; a alternativa E (x = 4) dá 15/3 = 5, diferente de 4. O gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Use a proporcionalidade dos segmentos determinados pelas paralelas e simplifique as expressões algébricas.
Alternativa por alternativa
O aluno cancela o fator (x-1) sem verificar se ele é zero e substitui x = 1 como se fosse uma solução válida. Não percebe que, com x = 1, os dois segmentos teriam medida zero e a divisão não é definida.
O aluno substitui x = 0 e calcula x²-1 como 0-1 = -1, mas não percebe que um segmento não pode ter medida negativa. Também não confere se a razão 4 é preservada.
Pela proporcionalidade: (x²-1)/(x-1)=4/1. Para x?1, (x²-1)/(x-1)=x+1, assim x+1=4 ? x=3.
O aluno provavelmente monta ou resolve a proporção de forma incorreta, sem substituir o valor encontrado para conferir. Com x = 5, a razão obtida seria 24/4 = 6, e não 4.
O aluno confunde o valor 4 cm do primeiro segmento com a incógnita e acaba substituindo x por 4. Com x = 4, a razão seria 15/3 = 5, e não 4.
Por que engana: O aluno pode comparar os segmentos em ordem incorreta ou cancelar fatores sem considerar as restrições de domínio, obtendo uma solução inválida.
Raio-X da questão
Teorema de Tales e álgebra
avaliacao
Proporcionalidade entre segmentos · Fatoração de diferença de quadrados
Revise a proporcionalidade entre segmentos formados por retas paralelas e a fatoração de expressões algébricas.
O aluno pode comparar os segmentos em ordem incorreta ou cancelar fatores sem considerar as restrições de domínio, obtendo uma solução inválida.
tomada_decisao
abstrato
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