Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede (2x+1) cm, um cateto mede (x+7) cm e o outro cateto mede 15 cm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede (2x+1) cm, um cateto mede (x+7) cm e o outro cateto mede 15 cm. Determine o valor de x (considere apenas a solução que gera medidas positivas).
- A) x = 7
- B) x = 0
- C) x = 2
- D) x = (5 + 2v211)/3
- E) x = -3
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como o triângulo é retângulo, vale o Teorema de Pitágoras, com a hipotenusa ao quadrado igual à soma dos quadrados dos catetos: (2x+1)^2 = (x+7)^2 + 15^2. Passo 2: Desenvolvendo os dois lados, 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 14x + 49 + 225, ou seja, 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 14x + 274. Passo 3: Passando todos os termos para o mesmo lado, obtemos 3x^2 - 10x - 273 = 0. Passo 4: Aplicando Bhaskara, o discriminante é Δ = (-10)^2 - 4·3·(-273) = 100 + 3276 = 3376, e a raiz quadrada de 3376 é 4 vezes a raiz de 211. Passo 5: Assim, x = (10 ± 4 raiz de 211) / 6, que simplificado fica x = (5 ± 2 raiz de 211) / 3. Passo 6: Como as medidas devem ser positivas, descartamos a raiz negativa e ficamos com x = (5 + 2 raiz de 211) / 3, que é aproximadamente 11,35. Passo 7: Conferindo: a hipotenusa vale cerca de 23,7 cm, o cateto x+7 vale cerca de 18,35 cm, e 18,35^2 + 15^2 ≈ 561,7 ≈ 23,7^2, então a resposta está correta. Passo 8: A alternativa A está errada porque, com x = 7, a hipotenusa mediria 15 cm, igual ao cateto, o que é impossível. A alternativa B está errada porque x = 0 gera hipotenusa de 1 cm, menor que os catetos. A alternativa C está errada porque x = 2 não satisfaz a equação (5^2 + 9^2 = 106 é diferente de 15^2 = 225). A alternativa E está errada porque x = -3 gera medidas negativas, o que o enunciado proíbe. O gabarito D está correto.
💡 Dica: Aplique o Teorema de Pitágoras para encontrar x.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente substituiu x = 7 e obteve hipotenusa de 15 cm, igual ao cateto de 15 cm, sem perceber que a hipotenusa deve ser o maior lado do triângulo.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
O aluno provavelmente anulou um termo da equação de forma indevida, por exemplo ao dividir ou igualar termos de maneira errada, chegando a x = 0 sem verificar a equação original.
O aluno provavelmente errou o desenvolvimento algébrico, como esquecer o termo quadrático ou trocar sinais, e testou um valor inteiro que parece simples sem checar o Teorema de Pitágoras.
Pelo teorema de Pitágoras: (2x+1)²=(x+7)²+15² ? 3x²-10x-273=0. ?=3376=16·211 ? x=(10±4v211)/6. A solução positiva é x=(5+2v211)/3.
O aluno provavelmente aceitou a raiz negativa da equação sem considerar que o enunciado exige medidas positivas, resultando em hipotenusa de -5 cm.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · equações do 1º grau
Revisar o Teorema de Pitágoras e resolução de equações.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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