Em um triângulo retângulo, os catetos medem 2x e 5x e a hipotenusa mede 13 cm. Determine o valor de x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo, os catetos medem 2x e 5x e a hipotenusa mede 13 cm. Determine o valor de x (considere apenas soluções compatíveis com medidas positivas).
- A) x = 2 cm
- B) x = 10 cm
- C) x = 15 cm
- D) x = 5 cm
- E) x = 13v29/29 cm
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Como o triângulo é retângulo, vale o teorema de Pitágoras: cateto^2 + cateto^2 = hipotenusa^2. Os catetos são 2x e 5x e a hipotenusa é 13. Passo 2: Substituindo, (2x)^2 + (5x)^2 = 13^2, ou seja, 4x^2 + 25x^2 = 169. Passo 3: Somando os termos semelhantes, 29x^2 = 169, logo x^2 = 169/29. Passo 4: Como x deve ser positivo, x = raiz de (169/29) = 13/raiz de 29. Passo 5: Racionalizando o denominador, multiplicamos numerador e denominador por raiz de 29, obtendo x = 13 raiz de 29 / 29 cm, que é a alternativa E. Passo 6: Conferência: com x = 13 raiz de 29/29, os catetos somam quadrados 4x^2 + 25x^2 = 29x^2 = 169 = 13^2, o que confirma a resposta. Passo 7: Por que as outras estão erradas: na A, x = 2 gera catetos 4 e 10, e 16 + 100 = 116, diferente de 169; na B, x = 10 gera catetos 20 e 50, e 400 + 2500 = 2900, muito maior que 169; na C, x = 15 gera catetos 30 e 75, cujos quadrados somam 6525, também incompatível com 169; na D, x = 5 gera catetos 10 e 25, e 100 + 625 = 725, diferente de 169. Passo 8: Assim, o gabarito oficial E está correto, e a resposta sai diretamente da aplicação de Pitágoras sem necessidade de tentativa.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para encontrar x.
Alternativa por alternativa
Provavelmente chutou um valor inteiro pequeno sem verificar a substituição no teorema de Pitágoras; com x = 2, os catetos seriam 4 e 10, cuja soma dos quadrados é 116, não 169.
Escolheu x = 10 sem montar a equação correta de Pitágoras; com x = 10, os catetos seriam 20 e 50, e a soma de seus quadrados (2900) ultrapassa muito o quadrado da hipotenusa (169).
Relacionou a hipotenusa a x por um ajuste sem fundamento, como se x fosse 13 + 2; com x = 15, os catetos 30 e 75 dariam quadrados somando 6525, muito acima de 169.
Tomou o valor 5 do cateto 5x como se fosse x, ignorando o fator 2x do outro cateto; com x = 5, os catetos 10 e 25 dão soma de quadrados 725, diferente de 169.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
Pelo Teorema de Pitágoras: (2x)^2+(5x)^2=13^2 ? 4x^2+25x^2=169 ? 29x^2=169 ? x^2=169/29. Como x representa comprimento, toma-se a raiz positiva x=13v29/29 cm.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · proporções em triângulos
Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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