Modele um dançarino que realiza um movimento de “pulsar” vertical (bounce) como uma massa m ligada às pernas…

Questão

Modele um dançarino que realiza um movimento de “pulsar” vertical (bounce) como uma massa m ligada às pernas efetivas com rigidez k. Dados: m = 60 kg, k = 1,8×10^4 N/m, amplitude A = 0,050 m. Calcule: (a) frequência natural f (Hz) e período T (s), usando ? = v(k/m), f = ?/(2p), T = 1/f; (b) velocidade máxima vmax = ?·A (m/s) e aceleração máxima amax = ?²·A (m/s²); (c) força elástica máxima F = k·A (N). Compare f com o tempo musical de 100 bpm (f_music = 100/60 Hz) e discuta se o dançarino precisa ajustar k ou A para sincronizar com a música.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Cálculos passo a passo: 1) Calcular ?: ? = v(k/m) = v(1,8×10^4 N/m ÷ 60 kg) = v(300 s?²) = 17,3205 rad/s. 2) Frequência natural: f = ?/(2p) = 17,3205 ÷ (2p) = 2,758 Hz. Período: T = 1/f = 0,362 s. 3) Velocidade máxima: vmax = ?·A = 17,3205·0,050 m = 0,866 m/s. 4) Aceleração máxima: amax = ?²·A = (17,3205)²·0,050 = 300·0,050 = 15,0 m/s² (˜1,5 g, com g = 10 m/s²). 5) Força elástica máxima: F = k·A = 1,8×10^4 N/m · 0,050 m = 900 N. Comparação com a música: f_music = 100/60 = 1,667 Hz. Como f (2,758 Hz) > f_music (1,667 Hz), o sistema natural do dançarino oscila mais rápido que o pulso musical. Para sincronizar, o dançarino pode reduzir a frequência natural diminuindo k (pernas mais relaxadas) ou aumentando a massa efetiva m (por exemplo, movimento corporal que aumenta inércia), ou aumentar amplitude A não altera f, então A não é eficaz para mudar f. Ajustar k (ou m) é a via física para igualar f a f_music.

Explicação

Os cálculos realizados demonstram como as propriedades físicas do sistema afetam a frequência e o período do movimento do dançarino. A comparação entre a frequência natural e a frequência musical revela que o dançarino oscila mais rapidamente do que o pulso da música, indicando a necessidade de ajustes para sincronização. As opções de ajuste, como modificar a rigidez ou a massa, são fundamentadas nas relações matemáticas que regem o sistema oscilatório.

Raio-X da questão

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