Um dançarino de massa m = 65 kg está em cima de uma plataforma circular livre de atrito com momento de inércia…

Questão

Um dançarino de massa m = 65 kg está em cima de uma plataforma circular livre de atrito com momento de inércia I_p = 0,80 kg·m². Inicialmente o conjunto gira com velocidade angular ?_i = 0,40 rad/s, com o dançarino a r_i = 0,90 m do eixo. O dançarino caminha lentamente até r_f = 0,30 m mantendo contato com a plataforma. Adote modelo ponto-massa para o dançarino. Usar I = I_p + m r², L = I·? (L em kg·m²/s), e K_rot = 1/2·I·?² (K em J). Determine: a) ?_f; b) variação da energia rotacional ?K; c) trabalho realizado pelo dançarino; d) potência média se o deslocamento levou ?t = 3,0 s. Considere ausência de torques externos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resposta (procedimento e cálculo): 1) Momentos de inércia: I_i = I_p + m r_i² = 0,80 + 65·(0,90)² = 0,80 + 65·0,81 = 0,80 + 52,65 = 53,45 kg·m². I_f = I_p + m r_f² = 0,80 + 65·(0,30)² = 0,80 + 65·0,09 = 0,80 + 5,85 = 6,65 kg·m². 2) Conservação do momento angular: L = I_i·?_i = 53,45·0,40 = 21,38 kg·m²/s. Logo ?_f = L / I_f = 21,38 / 6,65 ˜ 3,22 rad/s. 3) Energias rotacionais: K_i = 1/2·I_i·?_i² = 0,5·53,45·(0,40)² = 0,5·53,45·0,16 = 4,28 J. K_f = 1/2·I_f·?_f² = 0,5·6,65·(3,22)² ˜ 0,5·6,65·10,36 ˜ 34,38 J. ?K = K_f - K_i ˜ 34,38 - 4,28 = 30,10 J. 4) Trabalho e potência: como não há torque externo, o aumento de energia rotacional provém do trabalho realizado pelos músculos do dançarino ao aproximar sua massa, então Trabalho ˜ ?K = +30,1 J. Potência média P_avg = ?K / ?t = 30,10 / 3,0 ˜ 10,0 W. Observações: assumimos movimento lento (quase quasiestático) e desprezamos perdas por atrito ou dissipação interna; sinais positivos indicam ganho de energia rotacional pelo sistema.

Explicação

A solução utiliza a conservação do momento angular para determinar a nova velocidade angular ao alterar a posição do dançarino, que resulta em um aumento significativo da velocidade de rotação. A variação da energia rotacional é calculada a partir das energias iniciais e finais, refletindo o trabalho realizado pelo dançarino ao se mover em direção ao eixo. Por fim, a potência média é obtida dividindo-se o trabalho pelo tempo, evidenciando a eficiência do movimento em gerar energia rotacional.

Raio-X da questão

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