(Dissertativa) Um cometa de massa m muito pequena descreve órbita elíptica em torno do Sol com periélio r_p =…

Questão

(Dissertativa) Um cometa de massa m muito pequena descreve órbita elíptica em torno do Sol com periélio r_p = 0,5 AU e afélio r_a = 5,5 AU. Calcule a velocidade no periélio e no afélio e mostre, numericamente, a conservação do momento angular por unidade de massa. Use M_sun = 1,99×10^30 kg, G = 6,67×10^-11 N·m²/kg² e 1 AU = 1,496×10^11 m.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Dados: r_p=0,5·1,496e11=7,48e10 m; r_a=5,5·1,496e11=8,228e11 m; a=(r_p+r_a)/2=3,0 AU=4,488e11 m. Usar equação vis-viva: v=v[GM(2/r - 1/a)], GM˜1,327×10^20 m^3/s^2. No periélio: 2/r_p-1/a˜2,451×10^-11 ? v_p=v(1,327e20·2,451e-11)˜5,71×10^4 m/s. No afélio: 2/r_a-1/a˜2,01×10^-13 ? v_a=v(1,327e20·2,01e-13)˜5,17×10^3 m/s. Momento angular por unidade de massa L/m = r·v_? (v perpendicular a r em periélio/afélio): L/m|_p = r_p·v_p ˜7,48e10·5,71e4 ˜4,27×10^15 m^2/s; L/m|_a = r_a·v_a ˜8,228e11·5,17e3 ˜4,25×10^15 m^2/s (diferença por arred.). Conclusão: velocidades calculadas e L/m praticamente iguais, evidenciando conservação do momento angular no movimento Kepleriano.

Explicação

A solução utiliza a equação vis-viva para calcular as velocidades no periélio e no afélio, considerando a atração gravitacional do Sol. A conservação do momento angular é demonstrada ao comparar os valores obtidos para o momento angular por unidade de massa em ambos os pontos da órbita, que se mostram praticamente iguais. Isso confirma o princípio de que, em órbitas elípticas, o momento angular se mantém constante, conforme preconizado pelas leis de Kepler.

Raio-X da questão

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