Demonstre, usando semelhança de triângulos obtida pela altura ao vértice do ângulo reto, que em um triângulo…

Questão

Demonstre, usando semelhança de triângulos obtida pela altura ao vértice do ângulo reto, que em um triângulo retângulo ABC com ?C = 90° e H a projeção de C sobre AB vale CH² = AH·HB. Apresente a demonstração passo a passo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere ?ABC com ?C = 90° e H projeção de C sobre AB. Traçando CH formam-se os triângulos ?ACH, ?BCH e ?ABC, todos semelhantes dois a dois: ?ACH ~ ?ABC e ?BCH ~ ?ABC. Da semelhança ?ACH ~ ?ABC temos AC/AB = AH/AC ? AC² = AB·AH. (1) Da semelhança ?BCH ~ ?ABC temos BC/AB = BH/BC ? BC² = AB·BH. (2) Multiplicando (1) e (2): AC²·BC² = (AB·AH)·(AB·BH) = AB²·AH·BH. Mas AC²·BC² = (AC·BC)² e, pela fórmula da altura em triângulo retângulo, CH = (AC·BC)/AB (pois CH é a média geométrica entre projeções dos catetos na hipotenusa), então CH² = (AC·BC)²/AB². Comparando com a igualdade anterior, obtemos CH² = AH·BH. Alternativamente, dividir as igualdades (1) e (2): (AC²)/(BC²) = (AH)/(BH) e usando AC·BC = AB·CH (produto dos catetos = hipotenusa·altura) chega-se também a CH² = AH·BH. Portanto, CH = v(AH·HB), o que prova a relação desejada.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados do triângulo retângulo e suas projeções, permitindo derivar a relação CH² = AH·HB. A utilização da média geométrica entre as projeções dos catetos na hipotenusa também fundamenta a conclusão. Assim, a resposta mostra de forma clara e lógica como a relação entre os segmentos se mantém verdadeira no contexto do triângulo retângulo.

Raio-X da questão

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