(Dissertativa) No triângulo retângulo ABC com ?C = 90° tenha AC = 10 cm e BC = 24 cm (logo AB = 26 cm). Seja H…

Questão

(Dissertativa) No triângulo retângulo ABC com ?C = 90° tenha AC = 10 cm e BC = 24 cm (logo AB = 26 cm). Seja H a projeção de C sobre AB e D um ponto em AC tal que AD = 6 cm (portanto CD = 4 cm). A reta por D paralela a AB corta BC em E. (a) Calcule DE e BE. (b) Calcule AH, BH e CH. (c) Justifique todos os resultados usando semelhança de triângulos e relações métricas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Como DE ? AB, ?CDE ~ ?CAB, então DE/AB = CD/AC ? DE = AB·(CD/AC) = 26·(4/10) = 52/5 = 10,4 cm. Também BE/BC = AD/AC ? BE = BC·(AD/AC) = 24·(6/10) = 72/5 = 14,4 cm. (b) Pelas relações métricas da altura: AH = AC²/AB = 10²/26 = 100/26 = 50/13 cm; BH = BC²/AB = 24²/26 = 576/26 = 288/13 cm; CH = (AC·BC)/AB = (10·24)/26 = 120/13 cm. (c) Justificativa: DE ? AB implica semelhança entre ?CDE e ?CAB (proporções dos lados). As fórmulas AH = AC²/AB, BH = BC²/AB e CH = AC·BC/AB decorrem da semelhança dos três triângulos formados pela altura CH (?ACH ~ ?CHB ~ ?CAB). Aplicando essas proporções obtêm-se os valores calculados.

Explicação

A solução utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados, permitindo calcular os segmentos DE e BE com base nas proporções. As relações métricas da altura são derivadas da semelhança dos triângulos formados pela altura, resultando em expressões que facilitam o cálculo de AH, BH e CH. A aplicação adequada dessas propriedades geométricas garante a precisão dos resultados obtidos.

Raio-X da questão

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