Seja ABC e DEF com AB = 9, AC = 12 e sabe-se que AB/DE = AC/DF = 1/3. Determine DE, DF e a razão entre as…

Questão

Seja ABC e DEF com AB = 9, AC = 12 e sabe-se que AB/DE = AC/DF = 1/3. Determine DE, DF e a razão entre as áreas Área(DEF)/Área(ABC).

1. A) DE = 27, DF = 30, mas razões de áreas são iguais a 6.
2. B) DE = 27, DF = 36 e Área(DEF)/Área(ABC) = 9.
3. C) A razão de semelhança entre os triângulos é 1/6, não 1/3.
4. D) DE = 30 e DF = 45, logo razão de áreas é 4.
5. E) DE = 36 e DF = 48, com razão de áreas Área(DEF)/Área(ABC) = 8.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Os dados do enunciado são AB = 9, AC = 12 e AB/DE = AC/DF = 1/3. Como os dois quocientes são iguais, os triângulos ABC e DEF são semelhantes, com razão de semelhança entre ABC e DEF igual a 1/3.
2. Para encontrar DE, use AB/DE = 1/3. Isso dá DE = 3 vezes AB, ou seja, DE = 3 x 9 = 27.
3. Para encontrar DF, use AC/DF = 1/3. Isso dá DF = 3 vezes AC, ou seja, DF = 3 x 12 = 36.
4. Para a razão entre as áreas, lembre que, em triângulos semelhantes, a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança. Como a escala de ABC para DEF é 3, a razão é 3^2 = 9, ou seja, Área(DEF)/Área(ABC) = 9.
5. Conclusão: DE = 27, DF = 36 e a razão de áreas é 9, o que corresponde exatamente à alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas: A traz DF = 30, que não resulta de 3 x 12, e a razão de áreas 6 não é quadrado de nenhum fator usado. C afirma que a razão de semelhança é 1/6, mas o enunciado dá diretamente AB/DE = 1/3. D traz DE = 30, que não é 3 x 9, e DF = 45, que não é 3 x 12, além de razão de áreas 4, que não corresponde à escala 3. E usa DE = 36 e DF = 48, que correspondem a multiplicar por 4 e não por 3, e a razão de áreas 8 não é quadrado de nenhum número natural.

💡 Dica: Use a razão entre lados correspondentes para encontrar DE e DF; depois eleve essa razão ao quadrado para comparar as áreas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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