Nos triângulos ABC e DEF tem-se ?B = ?E, AB = 2x + 4, BC = 4x + 3, DE = 10 e EF = 15. (a) Determine o valor de…

Questão

Nos triângulos ABC e DEF tem-se ?B = ?E, AB = 2x + 4, BC = 4x + 3, DE = 10 e EF = 15. (a) Determine o valor de x que torna ABC ~ DEF. (b) Prove a semelhança indicando o critério usado e a razão entre lados correspondentes. (c) Com esse x, os triângulos são congruentes? Justifique.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Para semelhança pelo critério Lado-Ângulo-Lado (SAS) é necessário AB/DE = BC/EF. Logo: (2x+4)/10 = (4x+3)/15. Multiplicando em cruz: 15(2x+4) = 10(4x+3) ? 30x + 60 = 40x + 30 ? 60 - 30 = 40x - 30x ? 30 = 10x ? x = 3. (b) Substituindo x = 3 obtemos AB = 2·3+4 = 10 e BC = 4·3+3 = 15. Então AB/DE = 10/10 = 1 e BC/EF = 15/15 = 1. Como ?B = ?E e os lados adjacentes ao ângulo são proporcionais (razão comum k = 1), pelo critério SAS os triângulos são semelhantes; a razão entre lados correspondentes é k = 1. (c) Se a razão de semelhança k = 1, todos os lados correspondentes são iguais, portanto os triângulos são congruentes. Assim, com x = 3 os triângulos ABC e DEF são congruentes (caso particular de semelhança com razão 1).

Explicação

A solução apresenta a aplicação do critério Lado-Ângulo-Lado (SAS) para determinar a semelhança entre os triângulos, demonstrando que as razões entre os lados correspondentes são iguais, o que confirma a semelhança. Além disso, ao encontrar que a razão de semelhança é 1, conclui-se que os triângulos são congruentes, pois possuem lados iguais. A justificativa é clara e segue uma lógica matemática consistente, utilizando propriedades dos triângulos.

Raio-X da questão

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