De um ponto externo T partem duas secantes que interceptam a circunferência nos pontos A,B (primeira secante)…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
De um ponto externo T partem duas secantes que interceptam a circunferência nos pontos A,B (primeira secante) e C,D (segunda). Mede-se o ângulo entre as secantes em T e obtém-se 30°. Sabendo que m(arc AD)=4x+40° e m(arc BC)=2x+20°, determine x. Use a fórmula: ângulo externo = (m(arc maior) - m(arc menor))/2. De um ponto externo T partem duas secantes que interceptam a circunferência nos pontos A,B (primeira secante) e C,D (segunda). Mede-se o ângulo entre as secantes em T e obtém-se 30°. Sabendo que m(arc AD)=4x+40° e m(arc BC)=2x+20°, determine x. Use a fórmula: ângulo externo = (m(arc maior) - m(arc menor))/2.
- A) x = 20.
- B) x = 0.
- C) x = 10.
- D) x = 5.
- E) x = -40.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O ângulo entre as secantes em T mede 30°, m(arc AD) = 4x + 40° e m(arc BC) = 2x + 20°. A fórmula dada é ângulo = (arco maior - arco menor)/2.
- Descubra qual arco é o maior. Não há como saber só pelo enunciado, então vamos usar a expressão diretamente: a diferença entre os arcos é (4x + 40) - (2x + 20) = 2x + 20, pois o arco AD é o maior nesta montagem (a fórmula indicada trabalha com essa diferença).
- Monte a equação. (2x + 20)/2 = 30.
- Resolva. 2x + 20 = 60, logo 2x = 40 e x = 20.
- Verifique. Com x = 20, m(arc AD) = 120° e m(arc BC) = 60°. A diferença é 60° e a metade é 30°, que coincide com o ângulo medido. Logo x = 20 é coerente com os dados.
- Por que as outras alternativas estão erradas. B (x = 0) daria arcos de 40° e 20°, com ângulo de 10°. C (x = 10) daria arcos de 80° e 40°, com ângulo de 20°. D (x = 5) daria arcos de 60° e 30°, com ângulo de 15°. E (x = -40) daria arcos negativos, o que não faz sentido para arcos de circunferência.
- Conclusão. O gabarito oficial A (x = 20) está correto. Observação: o enunciado não diz explicitamente qual arco é o maior; a análise acima segue a fórmula fornecida, que pede a diferença maior menos menor.
💡 Dica: Substitua as medidas dos arcos na fórmula e resolva a equação para x.
Alternativa por alternativa
A diferença entre as medidas dos arcos é 2x+20. Como o ângulo externo é metade dessa diferença, 30=(2x+20)/2. Logo, x=20.
O aluno subtraiu apenas os termos em x (4x - 2x = 2x) e ignorou as constantes 40 e 20, chegando a 2x = 0.
Ao subtrair (4x + 40) - (2x + 20), o aluno tratou 40 - 20 como 40 e obteve 2x + 40 = 60, levando a x = 10.
Por que engana: O aluno pode somar as medidas dos arcos em vez de calcular a diferença entre o arco maior e o menor, ou inverter a ordem indicada na fórmula.
O aluno aplicou corretamente a diferença 2x + 20 mas esqueceu de dividir por 2, igualando 2x + 20 = 30 e obtendo x = 5.
O aluno inverteu a ordem da subtração (menor menos maior), obtendo (2x + 20 - 4x - 40)/2 = 30, o que leva a x = -40; isso contraria a regra do arco maior menos o menor.
Raio-X da questão
Ângulo externo de secantes
avaliacao
Equações do primeiro grau · Medida de arcos circulares
Revise a relação entre o ângulo externo formado por secantes e a diferença das medidas dos arcos interceptados.
O aluno pode somar as medidas dos arcos em vez de calcular a diferença entre o arco maior e o menor, ou inverter a ordem indicada na fórmula.
tomada_decisao
abstrato
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