Duas retas paralelas l e m interceptam uma circunferência de centro O nos pontos A,B sobre l e C,D sobre m, na…

Questão

Duas retas paralelas l e m interceptam uma circunferência de centro O nos pontos A,B sobre l e C,D sobre m, na ordem A, B, C, D ao percorrer a circunferência. Sabe-se que m(arc AB) = 2x+40° e m(arc BC) = x+30°. (a) Determine x. (b) Calcule a medida do ângulo inscrito ?ADC. (c) Se a reta t passa por A e C (transversal entre as interseções), determine o ângulo formado entre t e l no ponto A. Justifique suas respostas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Propriedade: duas secantes paralelas interceptam a circunferência em quatro pontos A,B,C,D na ordem indicada e implicam m(arc AB)=m(arc CD) e m(arc BC)=m(arc DA). Assim a soma das quatro arcs é 2·(m(arc AB)+m(arc BC))=360°, então m(arc AB)+m(arc BC)=180°. Substituindo: (2x+40)+(x+30)=180 ? 3x+70=180 ? 3x=110 ? x=110/3° (˜36,666...). Logo m(arc AB)=2x+40=340/3° e m(arc BC)=200/3°. (b) O arco AC = m(arc AB)+m(arc BC)=180°, portanto ?ADC, inscrito que intercepta o arco AC, vale 1/2·180° = 90°. (c) A reta l contém o segmento AB; o ângulo entre a transversal AC e l no ponto A é ?CAB, inscrito que intercepta o arco CB; assim mede 1/2·m(arc CB)=1/2·(200/3) = 100/3° (˜33,333...). Todas as etapas usam as relações entre arcos iguais para secantes paralelas e a propriedade ângulo inscrito = 1/2·(arco subtendido).

Explicação

A solução utiliza as propriedades das secantes paralelas que interceptam uma circunferência, permitindo estabelecer relações entre os arcos formados. A soma dos arcos AB e BC é igual a 180°, o que facilita a determinação do valor de x e, consequentemente, dos ângulos inscritos. A aplicação da fórmula do ângulo inscrito, que relaciona a medida do arco subtendido, garante a precisão dos cálculos dos ângulos solicitados.

Raio-X da questão

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