Matemática9º anoBNCC EF09MA11Difícil⏱ longo

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem. Sabe-se que os arcos menores AB…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA11

Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem. Sabe-se que os arcos menores AB e CD têm ambas a medida 2x + 10°. O arco BC mede x + 20° e o arco DA mede x + 2°. (a) Determine x e as medidas dos quatro arcos menores. (b) Mostre que os triângulos inscritos ?ABC e ?CDA são semelhantes e determine a razão AB:CD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Soma dos arcos: 2(2x+10)+(x+20)+(x+2)=360 ? 4x+20+x+20+x+2=360 ? 6x+42=360 ? 6x=318 ? x=53. Então m(AB)=m(CD)=2·53+10=116°; m(BC)=53+20=73°; m(DA)=53+2=55°. b) Ângulo inscrito que vê o arco AB é ?ACB; ângulo inscrito que vê o arco CD é ?CAD. Como m(arc AB)=m(arc CD), tem-se ?ACB = ?CAD. Além disso, ?ABC e ?CDA são ângulos suplementares aos mesmos arcos correspondentes ou podem ser confrontados por suas posições; portanto ?ABC e ?CDA têm dois ângulos congruentes e são semelhantes. Como arcos AB e CD são congruentes, as cordas correspondentes são congruentes; logo AB:CD = 1:1.

Explicação

A soma dos ângulos em uma circunferência é sempre 360°, o que justifica a equação montada para encontrar o valor de x. A semelhança dos triângulos se baseia na congruência dos ângulos formados pelos arcos iguais, levando à conclusão de que os lados correspondentes também são iguais. Assim, a razão entre os segmentos AB e CD é 1:1, confirmando a congruência das cordas.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Analisar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

arcos de circunferência

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

propriedades de arcos · semelhança de triângulos

📚 Reveja

Revisar as propriedades dos arcos e triângulos inscritos em circunferências.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as medidas dos arcos e não aplicar corretamente a relação de semelhança entre os triângulos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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