Em uma circunferência de centro O, as cordas AC e BD se intersectam internamente no ponto P. Sabe-se que m(arc…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma circunferência de centro O, as cordas AC e BD se intersectam internamente no ponto P. Sabe-se que m(arc AB) = 3x + 10° e m(arc CD) = x + 50°. Se o ângulo APB mede 70°, determine o valor de x.
- A) x = 30
- B) x = 40
- C) x = 20
- D) x = 10
- E) x = 0
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a relação entre o ângulo APB e os arcos. Como as cordas AC e BD se cruzam internamente em P, o ângulo APB é formado por duas cordas e sua medida é a média aritmética entre o arco AB (interceptado por APB) e o arco CD (interceptado pelo ângulo oposto pelo vértice CPD). Assim, APB = (arco AB + arco CD) / 2. Passo 2: Substitua os dados do enunciado. Arco AB = 3x + 10 e arco CD = x + 50, logo 70 = (3x + 10 + x + 50) / 2. Passo 3: Simplifique o numerador. 3x + 10 + x + 50 = 4x + 60, então 70 = (4x + 60) / 2. Passo 4: Multiplique os dois lados por 2, obtendo 140 = 4x + 60. Passo 5: Subtraia 60 dos dois lados, obtendo 80 = 4x. Passo 6: Divida por 4, obtendo x = 20. Passo 7: Verifique. Arco AB = 3(20) + 10 = 70 graus e arco CD = 20 + 50 = 70 graus; a média é (70 + 70) / 2 = 70 graus, que coincide com APB. Portanto a resposta correta é x = 20, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a A (x = 30) gera arcos de 100 e 80 graus, com média 90 graus, diferente de 70. A B (x = 40) gera arcos de 130 e 90 graus, com média 110 graus. A D (x = 10) gera arcos de 40 e 60 graus, com média 50 graus. A E (x = 0) gera arcos de 10 e 50 graus, com média 30 graus.
💡 Dica: Utilize a relação entre ângulos e arcos em circunferências.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente aplicou a relação de forma incorreta, por exemplo ao esquecer a divisão por 2 ou ao montar a equação com erro nos termos constantes, chegando a um valor de x que não satisfaz a igualdade com 70 graus.
O aluno provavelmente tomou os arcos com sinais ou somas trocados, tratando a relação como se o ângulo fosse igual a uma soma sem média, ou errou a soma dos termos constantes 10 e 50 ao montar a equação.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os arcos e o ângulo formado, aplicando a fórmula incorretamente.
Ângulo formado por duas cordas que se intersectam internamente vale a metade da soma das medidas dos arcos interceptados: 70° = ½(arc AB + arc CD) ? 140° = (3x+10)+(x+50) = 4x+60 ? 4x=80 ? x=20.
O aluno provavelmente acertou a ideia de somar os arcos, mas cometeu erro de cálculo ao isolar x, por exemplo ao escrever 4x + 60 = 100 em vez de 140, ou ao esquecer de multiplicar 70 por 2 antes de isolar x.
O aluno provavelmente ignorou os termos constantes 10 graus e 50 graus dos arcos, ou supôs que o ângulo depende apenas da parte com x, o que leva a uma equação inconsistente com os dados do enunciado.
Raio-X da questão
ângulos e arcos em circunferência
avaliacao
propriedades de ângulos em circunferência · teorema do ângulo interno
Revisar as propriedades dos ângulos formados por cordas em uma circunferência.
O aluno pode confundir a relação entre os arcos e o ângulo formado, aplicando a fórmula incorretamente.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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