Matemática1ª sérieDifícil⏱ medio

No mesmo círculo, as cordas AB e CD intersectam-se em P interno. As medidas dos arcos AC e BD são…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Questão

No mesmo círculo, as cordas AB e CD intersectam-se em P interno. As medidas dos arcos AC e BD são, respectivamente, 2x + 40° e 3x + 10°. Se o ângulo formado pelas cordas em P mede 70°, determine x.

A) x = 170
B) x = 4
C) x = 16
D) x = 18
E) x = -110

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Lembre a relação para cordas que se cruzam no interior de uma circunferência: o ângulo formado em P é igual à semissoma dos arcos interceptados pelo ângulo e por seu oposto pelo vértice. Ou seja, ângulo APC = (arco AC + arco BD) / 2. Passo 2: Substitua os dados do enunciado. Como o ângulo em P mede 70°, temos (2x + 40 + 3x + 10) / 2 = 70. Passo 3: Multiplique os dois lados por 2, obtendo 5x + 50 = 140. Passo 4: Subtraia 50 dos dois lados, obtendo 5x = 90, e divida por 5, resultando em x = 18. Passo 5: Verifique. Os arcos ficam AC = 2(18) + 40 = 76° e BD = 3(18) + 10 = 64°. A soma é 140°, e a metade é 70°, que coincide com o ângulo dado. Passo 6: Por que as demais estão erradas. A) x = 170 gera arco AC = 380°, impossível, pois um arco não pode ultrapassar 360°. B) x = 4 esquece de dividir a soma dos arcos por 2. C) x = 16 surge de um erro de soma, já que 40 + 10 = 50 e não 60. E) x = -110 subtrai os arcos em vez de somá-los, pois (2x + 40) - (3x + 10) = 140 leva a x = -110, e um arco negativo não faz sentido geométrico. Conclusão: o gabarito D está correto.

💡 Dica: Utilize a relação entre ângulos e arcos em um círculo.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno aplica a relação de forma errada e obtém um valor de x que gera arcos maiores que a circunferência inteira (2x + 40 = 380°). Não verifica se os arcos resultantes são compatíveis com uma volta completa de 360°.

B Erradaerro: Conceitual

O aluno iguala a soma dos arcos diretamente ao ângulo de 70°, esquecendo que o ângulo entre cordas vale a metade da soma dos arcos. Assim, escreve 5x + 50 = 70 e chega a x = 4.

C Erradaerro: Atençãoa que mais engana

O aluno usa a fórmula corretamente até 5x + 50 = 140, mas erra a soma das constantes (40 + 10 = 60, em vez de 50), chegando a 5x = 80 e x = 16.

Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os ângulos formados pelas cordas e os arcos correspondentes, aplicando a fórmula incorretamente.

D Correta

Quando duas cordas se intersectam internamente, o ângulo formado mede metade da soma das medidas dos arcos interceptados: 70 = 1/2[(2x+40)+(3x+10)]. Resolvendo: 140 = 5x+50 ? x = 18.

E Erradaerro: Conceitual

O aluno subtrai os arcos, em vez de somá-los, escrevendo (2x + 40) - (3x + 10) = 140. Essa confusão entre soma e diferença de arcos leva a x = -110, um valor negativo que não corresponde a um arco real.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Avaliar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

ângulos e arcos em círculo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

propriedades de ângulos · teorema do ângulo interno

📚 Reveja

Revisar as propriedades dos ângulos formados por cordas em um círculo.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a relação entre os ângulos formados pelas cordas e os arcos correspondentes, aplicando a fórmula incorretamente.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cientifico

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