Seja uma circunferência de centro O. A reta t é tangente à circunferência no ponto A. Sejam B e C pontos…

Questão

Seja uma circunferência de centro O. A reta t é tangente à circunferência no ponto A. Sejam B e C pontos distintos na circunferência. (a) Prove que o ângulo entre a tangente t e a corda AB é igual ao ângulo inscrito ACB que intercepta o mesmo arco AB. (b) Utilizando essa relação, explique por que tal igualdade de ângulos permite estabelecer semelhança entre triângulos que envolvem o segmento AB e ângulos formados pela tangente e por cordas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Seja ? = m(arc AB); então o ângulo inscrito ACB mede ?/2. Considere o triângulo isósceles OAB (OA=OB=r). O ângulo central AOB tem medida ?, então os ângulos da base em A e B valem (180°-?)/2. Como OA é perpendicular à tangente em A, o ângulo entre a tangente e a corda AB é 90° - ?OAB = 90° - (180°-?)/2 = ?/2, igual ao ângulo inscrito ACB. (b) Com essa igualdade, qualquer triângulo cujo vértice sobre a tangente determine junto à corda AB esse ângulo terá, por correspondência angular, um ângulo igual ao ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco; escolhendo um segundo par de ângulos correspondentes (por exemplo, outro ângulo formado pela mesma tangente com outra corda que intercepte um arco correspondente), obtém-se igualdade de dois ângulos entre os triângulos considerados. Pelo critério AA (dois ângulos iguais), conclui-se a semelhança entre esses triângulos, e assim são preservadas proporções entre os lados correspondentes.

Explicação

A explicação apresentada demonstra a relação entre os ângulos formados pela tangente e pela corda, utilizando conceitos de ângulos inscritos e centrais. A semelhança entre triângulos é estabelecida pelo critério AA, que se baseia na igualdade de ângulos correspondentes, resultando em proporções preservadas entre os lados. Essa abordagem permite aplicar a propriedade dos ângulos em diferentes contextos geométricos, reforçando a conexão entre tangentes e cordas em circunferências.

Raio-X da questão

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