Demonstre que, em uma circunferência de centro O, para qualquer arco AC o ângulo inscrito ?ABC que intercepta…

Questão

Demonstre que, em uma circunferência de centro O, para qualquer arco AC o ângulo inscrito ?ABC que intercepta esse arco tem medida igual à metade do ângulo central ?AOC que intercepta o mesmo arco. Apresente demonstração completa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere triângulos isósceles OAB e OCB (OA=OB=OC=r). Em ?AOB, ângulos na base são iguais: ?OAB = ?OBA. Em ?BOC, ?OCB = ?OBC. Note que ?AOC = ?AOB + ?BOC e que ?ABC = ?OBA + ?OBC. Soma das bases: ?AOC = 2(?OBA + ?OBC) = 2·?ABC. Portanto ?ABC = ½·?AOC.

Explicação

A demonstração utiliza a propriedade dos triângulos isósceles formados pelos raios da circunferência, onde os ângulos na base são iguais. Ao somar os ângulos dos triângulos OAB e OCB, a relação entre os ângulos inscritos e centrais é estabelecida, mostrando que o ângulo inscrito é sempre a metade do ângulo central correspondente. Essa relação é uma característica fundamental da geometria das circunferências.

Raio-X da questão

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