Um salão de dança tem piso que pode ser idealizado como uma mola vertical com constante elástica k = 4,0×10^4…

Questão

Um salão de dança tem piso que pode ser idealizado como uma mola vertical com constante elástica k = 4,0×10^4 N/m. Um casal (massa total m = 80 kg) dança com passos rítmicos. (a) Modele o sistema massa-mola e calcule a frequência natural f_n do conjunto. (b) A batida da música tem frequência f_m = 2,0 Hz. Há risco de ressonância? Explique e proponha duas medidas físicas para reduzir risco de vibração excessiva. Use f_n = (1/2p)·v(k/m).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo: massa m ligada a mola de constante k. Frequência natural angular ?_n = v(k/m) (rad/s). Numérico: ?_n = v(4,0×10^4 / 80) = v500 ˜ 22,36 rad/s. f_n = ?_n/(2p) ˜ 22,36/(2p) ˜ 3,56 Hz. Comparação: f_n = 3,56 Hz difere de f_m = 2,00 Hz, portanto não há ressonância direta. Medidas para reduzir risco: (1) aumentar amortecimento (colocar tapetes, materiais absorventes) para reduzir amplitude de vibração; (2) alterar a frequência efetiva do sistema (reduzir k com camada entre piso e base ou distribuir massa sobre maior área) ou orientar os passos para não coincidir com f_n. Apresente equações e compare numericamente f_n e f_m, indicando margem de segurança.

Explicação

A análise da frequência natural do sistema mostra que ela é superior à frequência da música, indicando que não há ressonância direta, o que é crucial para evitar vibrações excessivas. As medidas propostas, como aumentar o amortecimento e alterar a frequência efetiva do sistema, são estratégias eficazes para mitigar riscos de ressonância. A comparação numérica entre as frequências fornece uma margem de segurança que reforça a estabilidade do sistema durante a dança.

Raio-X da questão

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