Sejam A, B, C, D pontos distintos sobre uma mesma circunferência tal que a corda AC é paralela à corda BD (AC…

Questão

Sejam A, B, C, D pontos distintos sobre uma mesma circunferência tal que a corda AC é paralela à corda BD (AC ? BD). Prove que os arcos correspondentes AC e BD têm a mesma medida e que quaisquer ângulos inscritos que subtendem AC e BD são congruentes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere o centro O do círculo e os arcos AC e BD. As medidas dos arcos são dadas pelos ângulos centrais ?AOC e ?BOD. 2) Como AC ? BD, os segmentos secantes OA e OC interceptam as retas que contêm as cordas e os ângulos centrais formados por OA e OC e por OB e OD são correspondentes quando transportados por translação paralela ao eixo que une os pontos médios das cordas; geometricamente isto implica que os triângulos OAC e OBD são congruentes por considerar que OA = OB = OC = OD (raios) e os pares de ângulos entre os raios e as cordas são iguais pela paralelismo das cordas. 3) Da congruência dos triângulos segue que ?AOC = ?BOD, logo as medidas dos arcos AC e BD são iguais (medida do arco = medida do ângulo central correspondente). 4) Sejam ?APC e ?BQD ângulos inscritos que subtendem os arcos AC e BD, respectivamente. A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que subtende; como os arcos AC e BD têm a mesma medida, vale ½·m(arc AC) = ½·m(arc BD), portanto ?APC = ?BQD. 5) Conclusão: arcos AC e BD têm igual medida e quaisquer ângulos inscritos que os subtendem são congruentes. (Rigorosamente, pode-se formalizar a etapa 2 usando simetrias ou propriedades de paralelismo entre cordas e as posições relativas dos centros para estabelecer igualdade dos ângulos centrais.)

Explicação

A explicação demonstra que, devido ao paralelismo das cordas, os triângulos formados pelos raios e as cordas são congruentes, resultando em ângulos centrais iguais. Isso implica que os arcos subtendidos também têm a mesma medida. Além disso, a relação entre ângulos inscritos e arcos garante que os ângulos correspondentes são congruentes.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Em um círculo de centro O, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência e os cordões AB e CD são paralelos. Prove…
• Seja uma circunferência de centro O e duas cordas AB e CD congruentes (AB = CD). Prove que os arcos correspondentes têm…
• Sejam A, B, C, D pontos distintos numa circunferência de centro O. Sabendo que m(arc AB) = m(arc CD), prove que os…
• Sejam r e s retas paralelas que cortam uma circunferência em A,B (em r) e C,D (em s), respectivamente. Mostre que os…
• Num círculo, sejam A, B, C, D pontos distintos nessa ordem. Sabe-se que ?ABC = ?CDA e ?ACB = ?CAD. Prove que os…
• Em uma circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente em P. Prove que os triângulos ?APD e ?CPB são…

Todas as questões de Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal