Sejam r e s retas paralelas que cortam uma circunferência em A,B (em r) e C,D (em s), respectivamente. Mostre…

Questão

Sejam r e s retas paralelas que cortam uma circunferência em A,B (em r) e C,D (em s), respectivamente. Mostre que os arcos AB e CD têm a mesma medida e prove que qualquer ângulo inscrito que subtende AB é congruente a um ângulo inscrito que subtende CD. Apresente demonstração completa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere pontos A,B em r e C,D em s, com r ? s. Escolha um ponto P na circunferência entre B e C (fora das interseções). Considere os ângulos inscritos ?APB (subtende arco AB) e ?CPD (subtende arco CD). 2) Como r ? s, as cordas AB e CD constroem com o segmento PP (a partir de P) ângulos correspondentes: o ângulo entre PA e a reta r é congruente ao ângulo entre PC e a reta s, e analogousamente para PB e PD. Assim os pares de semirectas (PA,PB) e (PC,PD) têm a mesma diferença angular; portanto ?APB = ?CPD. 3) Dois ângulos inscritos congruentes interceptam arcos de mesma medida, logo m(arco AB) = m(arco CD). 4) Finalmente, se qualquer outro ângulo inscrito Q que subtende AB existe, então ?AQB = ?APB (pois ambos interceptam o mesmo arco AB); como ?APB = ?CPD, segue que ?AQB é congruente a qualquer ângulo inscrito que subtende CD. Assim demonstrou-se que arcos AB e CD têm medidas iguais e que os ângulos inscritos correspondentes são congruentes. (Observação: a argumentação usa a propriedade de ângulos correspondentes em retas paralelas e a relação entre ângulo inscrito e arco subtendido.)

Explicação

A demonstração utiliza a propriedade dos ângulos correspondentes formados por retas paralelas, mostrando que os ângulos inscritos que subtendem os arcos AB e CD são congruentes. Essa congruência implica que os arcos têm a mesma medida, uma vez que ângulos inscritos congruentes interceptam arcos equivalentes. Além disso, a conclusão sobre a congruência de outros ângulos inscritos que subtendem AB e CD reforça a relação entre os arcos e os ângulos correspondentes.

Raio-X da questão

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