Retas r e s são paralelas e cortam uma mesma circunferência em A,B (em r, nessa ordem) e C,D (em s, nessa…

Questão

Retas r e s são paralelas e cortam uma mesma circunferência em A,B (em r, nessa ordem) e C,D (em s, nessa ordem). Sabe-se que m(arco AD)=3x+20° e m(arco BC)=x+40°. a) Demonstre que m(arco AD)=m(arco BC) usando propriedades de ângulos formados por retas paralelas e ângulos inscritos. b) Determine x. c) Calcule a medida do ângulo inscrito que intercepta o arco AD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Considere os ângulos inscritos formados por pontos na circunferência que interceptam os arcos AD e BC; por exemplo, o ângulo inscrito que intercepta AD e o ângulo inscrito correspondente que intercepta BC são alternados correspondentes quando se observam as paralelas r e s e a transversal que passa pelos vértices desses ângulos. Pelo paralelismo, esses ângulos inscritos são congruentes, portanto interceptam arcos de mesma medida, logo m(arco AD)=m(arco BC). b) Igualando as expressões dos arcos: 3x+20 = x+40 ? 2x = 20 ? x = 10. c) Com x = 10, m(arco AD) = 3·10+20 = 50°. Um ângulo inscrito que intercepta esse arco mede metade do arco: 50°/2 = 25°. Assim, o ângulo inscrito buscado mede 25°.

Explicação

A demonstração utiliza a propriedade dos ângulos inscritos em circunferências, que afirma que ângulos alternados correspondentes formados por retas paralelas são iguais, garantindo que os arcos interceptados também são iguais. A resolução da equação para encontrar x é direta e fundamentada na igualdade dos arcos, levando ao valor correto. Por fim, a medida do ângulo inscrito é obtida pela regra que relaciona a medida do arco e do ângulo, confirmando a consistência dos cálculos.

Raio-X da questão

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