Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D pertencem à borda. As cordas AB e CD são paralelas…

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D pertencem à borda. As cordas AB e CD são paralelas. Sabe-se que m(arc AB) = 2x + 20° e m(arc CD) = 3x - 20°. Além disso, o arco AC (medido pelo ângulo central ?AOC) tem medida igual ao restante da circunferência. Resolva: (a) determine o valor de x; (b) calcule m(arc AB), m(arc CD) e m(arc AC); (c) calcule a medida do ângulo inscrito ?AEC que intercepta o arco AC; (d) explique, com base em propriedades geométricas, por que as igualdades usadas são válidas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resolução modelo: (a) Como AB e CD são cordais paralelas, interceptam arcos congruentes: m(arc AB) = m(arc CD). Logo 2x + 20 = 3x - 20. Assim x = 40. (b) Substituindo x: m(arc AB) = 2·40 + 20 = 100°; m(arc CD) = 3·40 - 20 = 100°. O arco AC é o restante da circunferência: m(arc AC) = 360° - 100° - 100° = 160°. (c) Um ângulo inscrito mede metade do ângulo central que intercepta o mesmo arco. Como ?AOC mede 160°, o ângulo inscrito ?AEC = 160°/2 = 80°. (d) Justificativas: (i) Teorema das cordas paralelas — cordas paralelas interceptam arcos de mesma medida; aplicando isso obtemos a equação linear que determinou x. (ii) Relação entre ângulo central e ângulo inscrito — todo ângulo inscrito mede metade do ângulo central que subtende o mesmo arco; por isso dividimos por 2 para obter ?AEC.

Explicação

A solução utiliza a propriedade das cordas paralelas, que garante que arcos interceptados por cordas paralelas têm medidas iguais, permitindo a formação da equação para encontrar x. Além disso, a relação entre ângulos centrais e ângulos inscritos é aplicada para determinar a medida do ângulo inscrito, que é sempre metade do ângulo central correspondente. Essas propriedades geométricas são fundamentais para resolver problemas envolvendo circunferências e suas cordas.

Raio-X da questão

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