Uma cooperativa brasileira de alimentos está planejando a produção mensal de cestas. Para determinado tipo de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa brasileira de alimentos está planejando a produção mensal de cestas. Para determinado tipo de cesta, a quantidade de itens produzidos, em função de uma variável x associada ao número de lotes planejados, é representada pela expressão 2x² + 8x + 6. Para facilitar a análise dos fatores que influenciam essa produção, a equipe decidiu escrever essa expressão como um produto de fatores de primeiro grau, com coeficientes inteiros. Com base no texto, qual é a fatoração completa, em fatores de primeiro grau e com coeficientes inteiros, da expressão que representa a quantidade de itens produzidos? 2(x + 1)(x + 3) 2(x + 1)(x + 4) 2(x + 2)(x + 2) (2x + 3)(x + 2) 2(x² + 4x + 3)
- A) 2(x + 2)(x + 2)
- B) 2(x + 1)(x + 4)
- C) 2(x² + 4x + 3)
- D) (2x + 3)(x + 2)
- E) 2(x + 1)(x + 3)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A expressão dada é 2x² + 8x + 6. Primeiro, observe que todos os coeficientes (2, 8 e 6) são pares, então podemos pôr o 2 em evidência: 2x² + 8x + 6 = 2(x² + 4x + 3).
- Agora fatoramos o trinômio x² + 4x + 3, procurando dois números cuja soma seja 4 e cujo produto seja 3. Esses números são 1 e 3, pois 1 + 3 = 4 e 1 × 3 = 3.
- Logo, x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3). Verificando: (x + 1)(x + 3) = x² + 3x + x + 3 = x² + 4x + 3.
- Portanto, a fatoração completa é 2(x + 1)(x + 3), com fatores de primeiro grau e coeficientes inteiros. A alternativa E está correta, concordando com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A usa dois fatores iguais (x + 2), cuja soma 4 e produto 4 não correspondem ao trinômio; a alternativa B usa (x + 1)(x + 4), que daria x² + 5x + 4; a alternativa C mantém o trinômio de segundo grau, não é fatoração completa; a alternativa D tem o 2 fora do fator errado, e (2x + 3)(x + 2) daria 2x² + 7x + 6, diferente da expressão original.
💡 Dica: Tente identificar os fatores da expressão quadrática.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tentou fatorar o trinômio x² + 4x + 4 (quadrado perfeito) ou confundiu a soma 4 com o produto dos termos, obtendo (x + 2)(x + 2) sem verificar o termo independente, que deveria ser 3.
O aluno escolheu dois números com soma 5 (1 e 4) ou não conferiu a soma dos fatores, pois 1 + 4 = 5 e não 4; assim, o produto (x + 1)(x + 4) gera x² + 5x + 4, incompatível com o termo 4x.
Por que engana: Confundir a distribuição de fatores e não aplicar corretamente a propriedade distributiva na fatoração.
O aluno acredita que já está fatorado ao colocar o 2 em evidência, sem perceber que o trinômio x² + 4x + 3 ainda pode ser decomposto em fatores de primeiro grau.
O aluno tentou fatorar 2x² + 8x + 6 diretamente como um produto de dois binômios, errando a distribuição dos coeficientes; (2x + 3)(x + 2) resulta em 2x² + 7x + 6, que não é igual à expressão original.
Colocando 2 em evidência, obtém-se 2(x² + 4x + 3). Em seguida, é necessário encontrar dois números cujo produto seja 3 e cuja soma seja 4: 1 e 3. Portanto, x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3), resultando em 2(x + 1)(x + 3).
Raio-X da questão
fatoração de polinômios
avaliacao
fatoração de polinômios · multiplicação de binômios
Revisar técnicas de fatoração de expressões quadráticas.
Confundir a distribuição de fatores e não aplicar corretamente a propriedade distributiva na fatoração.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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