Em uma atividade de Ciências da Natureza, estudantes mediram cinco árvores de uma praça para estimar a altura…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade de Ciências da Natureza, estudantes mediram cinco árvores de uma praça para estimar a altura média da vegetação. As medidas obtidas, em metros, foram 2, 3, v2, 4 e 5. Considere que v2 é um número irracional, isto é, não pode ser escrito como razão entre dois números inteiros. Com base nessas medidas, qual é a classificação da altura média das cinco árvores?
- A) A média será um número irracional.
- B) A média será um número racional.
- C) A média será menor que um.
- D) A média será um número inteiro.
- E) A média será igual a zero.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de valores. Aqui são 5 medidas: 2, 3, raiz de 2, 4 e 5.
- Somando os inteiros, 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Logo, a soma total é 14 + raiz de 2.
- A média é (14 + raiz de 2) / 5.
- Para saber a classificação, suponha, por absurdo, que a média seja racional, isto é, igual a p/q com p e q inteiros e q diferente de zero. Então 14 + raiz de 2 = 5p/q, e raiz de 2 = 5p/q - 14 = (5p - 14q)/q, que seria racional. Isso contradiz o enunciado, que afirma que raiz de 2 é irracional. Portanto a média é irracional.
- Por que as outras estão erradas: B afirma que a média é racional, o que contradiz o argumento do passo 4. C afirma que a média é menor que um, mas a média está entre 2 e 5, já que é maior que o menor valor e menor que o maior valor da lista. D afirma que a média é inteira, mas (14 + raiz de 2)/5 está entre 3 e 4 e não pode ser inteiro, pois raiz de 2 não é inteira. E afirma que a média é zero, mas todas as medidas são positivas, então a média também é positiva.
- Conclusão: a alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Considere o impacto de valores irracionais na média aritmética.
Alternativa por alternativa
A soma das alturas é 2 + 3 + √2 + 4 + 5 = 14 + √2. Portanto, a média é (14 + √2)/5. Como 14 e 5 são racionais e √2 é irracional, a expressão (14 + √2)/5 é irracional. Assim, a média não pode ser escrita como razão entre dois números inteiros.
O aluno acha que, por a média envolver divisão por 5 (um inteiro), o resultado fica racional, sem perceber que a soma contém raiz de 2, que é irracional.
O aluno confunde média com um valor pequeno ou com outra grandeza, imaginando que a média deve ser menor que 1 sem fazer a conta com as medidas, que estão entre 2 e 5.
O aluno supõe que a média de medidas inteiras deve ser um número inteiro, esquecendo que a presença de raiz de 2 na soma impede que o resultado seja inteiro.
O aluno confunde média com soma algébrica ou cancelamento de valores, como se as medidas positivas se anulassem, e assim chega a zero.
Raio-X da questão
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média aritmética · números racionais e irracionais
Revisar como calcular a média aritmética com números irracionais.
Confundir a natureza da média ao incluir um número irracional, acreditando que a média também será racional.
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