Explique como você pode demonstrar que v2 é um número irracional e não pode ser expresso como uma fração.

Questão

Explique como você pode demonstrar que v2 é um número irracional e não pode ser expresso como uma fração.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Para demonstrar que v2 é irracional, suponha que v2 = a/b, onde a e b são inteiros e b ? 0. Elevando ao quadrado, temos 2 = a²/b², ou seja, a² = 2b². Isso implica que a² é par, logo a também é par. Assim, a = 2k. Substituindo, obtemos 4k² = 2b², ou b² = 2k². Portanto, b também é par. Isso gera uma contradição, pois a e b não podem ser ambos pares, já que são frações irredutíveis. Portanto, v2 é irracional.

Explicação

A demonstração utiliza o método da contradição, partindo da suposição de que v2 pode ser expresso como uma fração. Ao mostrar que tanto o numerador quanto o denominador devem ser pares, a conclusão é que a fração não é irredutível, o que contradiz a suposição inicial. Assim, a impossibilidade de representar v2 como uma fração confirma sua irracionalidade.

Raio-X da questão

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