Explique como você pode demonstrar que v2 é um número irracional. Use argumentos matemáticos e exemplos que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Explique como você pode demonstrar que v2 é um número irracional. Use argumentos matemáticos e exemplos que sustentem sua resposta.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
A demonstração de que v2 é irracional pode ser realizada por meio de uma prova por contradição. Suponha que v2 seja racional, então pode ser expresso como p/q, onde p e q são inteiros primos entre si. Elevando ao quadrado, 2 = p²/q² implica que p² = 2q². Assim, p² é par, logo p é par, o que implica que q também é par. Isso contradiz a suposição inicial de que p e q não têm fatores comuns. Portanto, v2 não pode ser expresso como uma fração e é irracional.
Explicação
A demonstração utiliza a técnica da prova por contradição, que é eficaz para mostrar que uma suposição inicial leva a um resultado impossível. Ao assumir que v2 é racional e chegar à conclusão de que p e q devem ser pares, a argumentação revela uma contradição com a definição de números primos entre si. Isso estabelece que v2 não pode ser expresso como uma fração, confirmando sua irracionalidade.
Raio-X da questão
número irracional
avaliacao
números racionais e irracionais · propriedades da raiz quadrada
Revisar a definição de números irracionais e a prova por contradição.
O aluno pode confundir a definição de números racionais e irracionais, afirmando que √2 é racional por não entender a impossibilidade de expressá-lo como uma fração.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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