Um artista vai construir uma escultura em forma de cubo. Cada aresta do cubo mede 5 cm. A diagonal do cubo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um artista vai construir uma escultura em forma de cubo. Cada aresta do cubo mede 5 cm. A diagonal do cubo liga dois vértices que não pertencem à mesma face. Qual alternativa apresenta a medida da diagonal desse cubo e classifica corretamente o número obtido?
- A) 10 cm, um número racional.
- B) 5 cm, um número racional.
- C) 5√2 cm, um número irracional.
- D) 15 cm, um número irracional.
- E) 5√3 cm, um número irracional.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo retângulo certo. A diagonal do cubo (d) liga dois vértices que não estão na mesma face. Ela é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a diagonal de uma face e uma aresta perpendicular a essa face.
- Calcule a diagonal da face. Em um quadrado de lado 5 cm, a diagonal vale 5√2 cm, pelo Teorema de Pitágoras: (diagonal da face)^2 = 5^2 + 5^2 = 50.
- Aplique Pitágoras no triângulo espacial. d^2 = (5√2)^2 + 5^2 = 50 + 25 = 75, logo d = raiz de 75 = 5√3 cm, que é aproximadamente 8,66 cm. Em forma geral, a diagonal do cubo é a raiz de 3 vezes a aresta.
- Classifique o número. O número 3 não é quadrado perfeito, então raiz de 3 é irracional. Multiplicar um racional não nulo (5) por um irracional continua irracional, logo 5√3 é irracional. A alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A diagonal não é 10 cm, pois isso equivaleria a dobrar a aresta, o que não corresponde à geometria do cubo. A diagonal também não é 5 cm, pois ela é maior que a aresta. A alternativa C traz a diagonal de uma face, que não é a diagonal pedida. A alternativa D, com 15 cm, é racional, então a classificação como irracional está errada além do valor.
💡 Dica: Calcule a diagonal do cubo usando a fórmula apropriada.
Alternativa por alternativa
Supõe que a diagonal do cubo é o dobro da aresta, ou seja, 2 × 5 = 10 cm, sem usar o Teorema de Pitágoras no espaço. Também acredita que a diagonal espacial tem medida inteira.
Imagina que a diagonal do cubo tem a mesma medida da aresta, por intuição visual de que as linhas do cubo são iguais. Não percebe que a diagonal atravessa o sólido e é maior que a aresta.
Por que engana: Confundir a diagonal do cubo com a diagonal de uma face, utilizando apenas a medida da aresta.
Calcula a diagonal de uma face (5√2 cm), que liga vértices da mesma face. Ignora a condição do enunciado de que os vértices não pertencem à mesma face.
Multiplica a aresta por 3 (5 × 3 = 15 cm), esquecendo a raiz quadrada de 3 no cálculo. Em seguida, classifica o resultado como irracional, mesmo sendo inteiro.
A diagonal de um cubo de aresta a é calculada por d = a√3. Como a aresta mede 5 cm, d = 5√3 cm. Como √3 é irracional e não pode ser simplificado para um número racional, 5√3 também é irracional.
Raio-X da questão
diagonal do cubo
avaliacao
teorema de pitagoras · propriedades do cubo
Revisar a fórmula da diagonal de um cubo e a diferença entre números racionais e irracionais.
Confundir a diagonal do cubo com a diagonal de uma face, utilizando apenas a medida da aresta.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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