Na aula, Lara desenhou um quadrado com lado de 4 cm. Qual é o comprimento da diagonal e ela é racional ou…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na aula, Lara desenhou um quadrado com lado de 4 cm. Qual é o comprimento da diagonal e ela é racional ou irracional?
- A) 5 cm e racional
- B) 8 cm e racional
- C) 4 cm e racional
- D) 4√2 cm e irracional
- E) 2√2 cm e irracional
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O quadrado tem lado de 4 cm e queremos a diagonal, que liga dois vértices opostos e forma com dois lados consecutivos um triângulo retângulo isósceles, cuja hipotenusa é a diagonal.
- Aplique o Teorema de Pitágoras. Como os catetos medem 4 cm cada, d^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32.
- Calcule a raiz. d = raiz de 32 = raiz de (16 x 2) = 4 raiz de 2, ou seja, d = 4√2 cm.
- Classifique o número. Raiz de 2 é irracional (não pode ser escrita como fração de inteiros), e multiplicar um irracional por 4 (racional não nulo) continua gerando um irracional. Logo, a diagonal é irracional.
- Compare com o gabarito. A resposta obtida, 4√2 cm e irracional, coincide com a alternativa D, que é o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 5 cm não é o resultado de Pitágoras com catetos 4 cm; B) 8 cm é a soma dos dois lados, e não a diagonal; C) 4 cm é igual ao lado, e a diagonal é sempre maior que o lado; E) 2√2 cm é a metade da diagonal correta, além de ser um valor que não corresponde ao cálculo com lado 4 cm.
💡 Dica: Calcule a diagonal usando a fórmula do quadrado.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente aplicou Pitágoras de forma errada, como se a diagonal fosse igual a um valor próximo de 3-4-5 ou somou os catetos de modo incorreto, chegando ao inteiro 5 e assumindo que o resultado é racional.
O aluno somou os dois lados do quadrado (4 + 4 = 8) e tomou essa soma como o comprimento da diagonal, sem entender que a diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo e não a soma dos catetos.
Por que engana: Confundir a diagonal com o comprimento do lado do quadrado, escolhendo uma alternativa que representa apenas o lado.
O aluno acreditou que a diagonal tem o mesmo comprimento do lado, por intuição do dia a dia, sem considerar que a diagonal de um quadrado é sempre maior que o lado.
A diagonal do quadrado é calculada por d = lado × √2. Assim, d = 4 × √2 = 4√2 cm. Como √2 é irracional, 4√2 também é irracional.
O aluno calculou corretamente a relação com raiz de 2, mas errou o fator multiplicativo, obtendo 2√2 (metade da diagonal) por descuido ao dividir ou ao extrair a raiz de 32, mesmo reconhecendo que o número é irracional.
Raio-X da questão
diagonal do quadrado
avaliacao
teorema de pitagoras · propriedades do quadrado
Revisar a fórmula da diagonal de um quadrado e a diferença entre números racionais e irracionais.
Confundir a diagonal com o comprimento do lado do quadrado, escolhendo uma alternativa que representa apenas o lado.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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