Em uma competição de matemática, os alunos devem medir a altura de um triângulo com lados medindo 5 cm, 12 cm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma competição de matemática, os alunos devem medir a altura de um triângulo com lados medindo 5 cm, 12 cm e 13 cm. Essa altura é um número racional ou irracional?
- A) É um número racional, pois pode ser calculado.
- B) É irracional, pois depende do tipo de triângulo.
- C) Não é possível determinar.
- D) É um número irracional porque é um triângulo retângulo.
- E) É um número que não pode ser expresso numericamente.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Verifique o tipo de triângulo. Como 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2, o triângulo é retângulo, com catetos 5 e 12 e hipotenusa 13. Passo 2: Calcule a altura relativa à hipotenusa pela área. A área é 5 x 12 / 2 = 30. Como a área também é hipotenusa x altura / 2, temos 30 = 13 x h / 2, logo h = 60/13, que é um número racional. Passo 3: Observe que os catetos são, eles mesmos, alturas relativos um ao outro: a altura sobre o cateto 5 é 12 e a altura sobre o cateto 12 é 5, ambas inteiras e, portanto, racionais. Passo 4: Conclusão: todas as alturas desse triângulo são números racionais, por isso a alternativa A está correta, e o gabarito oficial coincide com essa conclusão. Passo 5: A alternativa B está errada, pois a altura de um triângulo determinado pelos seus lados não se torna irracional por causa do tipo do triângulo. A alternativa C está errada, pois a altura pode ser determinada exatamente, como 60/13, 12 ou 5. A alternativa D está errada, pois ser retângulo faz os catetos serem alturas racionais, e não irracionais. A alternativa E está errada, pois 60/13 é uma expressão numérica exata em forma de fração. Observação: a justificativa da alternativa A é curta, mas a conclusão está correta porque a altura pode ser calculada exatamente por fração.
💡 Dica: Calcule a altura usando a fórmula da área do triângulo.
Alternativa por alternativa
A altura é 5 cm, que é um número racional.
Acredita que a altura depende da forma do triângulo e, por isso, seria irracional, confundindo a dependência de um tipo de triângulo com a natureza do número obtido. Não percebe que os lados já determinam o triângulo e a altura.
Pensa que, como a altura não foi especificada para um lado, não há como determinar sua natureza. Não percebe que todas as alturas desse triângulo podem ser calculadas.
Associa triângulo retângulo a números irracionais, possivelmente lembrando de raízes que surgem no teorema de Pitágoras. Não percebe que, nesse triângulo, os catetos já são alturas e são inteiros.
Por que engana: Confundir a altura de um triângulo retângulo com a altura de outros tipos de triângulos, levando a uma conclusão errada sobre a racionalidade do número.
Confunde número irracional com número que não pode ser expresso numericamente e acredita que a altura não tem representação numérica. Não reconhece que 60/13 é uma representação exata.
Raio-X da questão
altura de triângulo
avaliacao
altura de triângulo · teorema de Pitágoras
Revisar a fórmula da área do triângulo e propriedades de números racionais e irracionais.
Confundir a altura de um triângulo retângulo com a altura de outros tipos de triângulos, levando a uma conclusão errada sobre a racionalidade do número.
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