Um arquiteto planeja um edifício em forma de quadrado com lados de 50 m. Qual será a medida da diagonal?…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um arquiteto planeja um edifício em forma de quadrado com lados de 50 m. Qual será a medida da diagonal? Justifique se é um número irracional ou não.
- A) 70,71 m
- B) 50 m
- C) 100 m
- D) 60,50 m
- E) 72 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Em um quadrado, a diagonal divide a figura em dois triângulos retângulos isósceles, cujos catetos são os lados do quadrado (50 m cada). Pelo teorema de Pitágoras, d^2 = 50^2 + 50^2 = 2500 + 2500 = 5000. Passo 2: Logo, d = raiz de 5000. Como 5000 = 2500 x 2, temos d = 50 x raiz de 2. Passo 3: Sabendo que raiz de 2 é aproximadamente 1,41421, calculamos d = 50 x 1,41421 = 70,7107 m, ou seja, aproximadamente 70,71 m. Passo 4: Sobre a irracionalidade: raiz de 2 não é número irracional? Não, é irracional. Se raiz de 2 fosse racional, existiriam inteiros primos entre si p e q com (p/q)^2 = 2, ou seja, p^2 = 2q^2. Então p^2 seria par, o que implica p par; escrevendo p = 2k, temos 4k^2 = 2q^2, logo q^2 = 2k^2 e q também seria par, contradizendo que p e q são primos entre si. Portanto raiz de 2 é irracional. Como 50 é racional e diferente de zero, o produto 50 x raiz de 2 também é irracional, e a medida exata da diagonal é irracional. Passo 5: Análise das alternativas erradas: B (50 m) está errada porque a diagonal é sempre maior que o lado do quadrado. C (100 m) está errada porque a diagonal não é igual ao dobro do lado. D (60,50 m) está errada porque 50 x 1,21 não corresponde a 50 x raiz de 2. E (72 m) está errada porque 72 m corresponde a uma aproximação incorreta de raiz de 2. Passo 6: O gabarito oficial A está correto.
💡 Dica: Calcule a diagonal usando o teorema de Pitágoras.
Alternativa por alternativa
A diagonal é 50v2 m, aproximadamente 70,71 m.
O aluno supõe que a diagonal tem a mesma medida do lado, como se fosse apenas outro segmento de mesmo comprimento. Não percebe que a diagonal é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos lados.
O aluno calcula a diagonal como o dobro do lado (2 x 50), somando os dois catetos em vez de aplicar o teorema de Pitágoras. Confunde a hipotenusa com a soma dos catetos.
O aluno usa uma aproximação errada de raiz de 2, por exemplo 1,21 (que é 1,1 ao quadrado), obtendo 50 x 1,21 = 60,50. Faz confusão entre o valor de raiz de 2 e o de outro número.
Por que engana: Confundir a soma dos lados do quadrado com a medida da diagonal, pensando que a diagonal é igual a um dos lados.
O aluno usa uma aproximação errada de raiz de 2, por exemplo 1,44 (que é 1,2 ao quadrado), obtendo 50 x 1,44 = 72. Confunde o valor de raiz de 2 com o quadrado de 1,2.
Raio-X da questão
diagonal de quadrado
avaliacao
teorema de pitagoras · propriedades do quadrado
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de números irracionais.
Confundir a soma dos lados do quadrado com a medida da diagonal, pensando que a diagonal é igual a um dos lados.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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