Em uma escola pública, estudos anteriores indicam que cada estudante tem probabilidade de 70% de ser aprovado…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma escola pública, estudos anteriores indicam que cada estudante tem probabilidade de 70% de ser aprovado em determinada prova. Para um grupo de cinco estudantes, considere que os resultados individuais são independentes, isto é, o resultado de um estudante não altera a probabilidade de aprovação dos demais. Com base nessas informações, qual é a probabilidade de exatamente três dos cinco estudantes serem aprovados?
- A) 0,6913
- B) 0,1544
- C) 0,0309
- D) 0,0926
- E) 0,3087
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. Cada estudante é aprovado com probabilidade p = 0,7 e reprovado com probabilidade 0,3, de forma independente. Como interessa o número de aprovados em 5 tentativas, trata-se de uma distribuição binomial com n = 5 e k = 3.
- Escreva a fórmula. P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k).
- Calcule o coeficiente binomial. C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = 10, ou seja, há 10 maneiras de escolher quais três estudantes serão aprovados.
- Calcule as potências. 0,7^3 = 0,343 e 0,3^2 = 0,09.
- Multiplique tudo. P = 10 * 0,343 * 0,09 = 10 * 0,03087 = 0,3087. Portanto, a alternativa correta é a E, e o gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: A) 0,6913 é o complemento de 0,3087 (1 - 0,3087), ou seja, a probabilidade de não ser exatamente três aprovados. B) 0,1544 é metade do valor correto, o que não corresponde a nenhuma simetria do problema. C) 0,0309 é apenas 0,7^3 * 0,3^2, sem o coeficiente binomial 10. D) 0,0926 usa coeficiente 3 em vez de 10 (3 * 0,03087 = 0,0926).
💡 Dica: Utilize a fórmula da probabilidade binomial para resolver.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou a probabilidade do evento complementar, isto é, 1 - 0,3087, achando que pediu a probabilidade de não haver exatamente três aprovados.
Por que engana: Confundir a fórmula da probabilidade binomial, aplicando incorretamente os valores de sucesso e fracasso.
O aluno dividiu o resultado correto por 2, talvez por supor uma simetria entre aprovados e reprovados que não existe, já que p = 0,7 é diferente de 0,5.
O aluno esqueceu o coeficiente binomial C(5, 3) = 10 e calculou apenas 0,7^3 * 0,3^2, que conta uma única sequência específica de resultados.
O aluno calculou mal o coeficiente binomial, usando 3 em vez de 10, e multiplicou 3 * 0,03087 = 0,0926.
A situação segue um modelo binomial, pois há cinco tentativas independentes, com probabilidade de aprovação igual a 0,7 e de reprovação igual a 0,3. Para exatamente três aprovações, é necessário escolher quais três estudantes serão aprovados, o que pode ser feito de C(5,3) = 10 maneiras. Assim, P = C(5,3) · (0,7)^3 · (0,3)^2 = 10 · 0,343 · 0,09 = 0,3087.
Raio-X da questão
probabilidade binomial
avaliacao
probabilidade binomial · cálculo de combinações
Revisar a fórmula da probabilidade binomial e suas aplicações.
Confundir a fórmula da probabilidade binomial, aplicando incorretamente os valores de sucesso e fracasso.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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