Durante uma aula de geometria, os alunos construíram um triângulo equilátero com lado de 6 cm. Para descobrir…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante uma aula de geometria, os alunos construíram um triângulo equilátero com lado de 6 cm. Para descobrir sua altura, eles traçaram um segmento do vértice até o ponto médio do lado oposto. Qual é a medida da altura desse triângulo e como esse número é classificado?
- A) A altura mede 3√3 cm e é irracional.
- B) A altura mede 3 cm e é racional.
- C) A altura mede 6 cm e é racional.
- D) A altura mede 6√3 cm e é irracional.
- E) A altura mede 3√2 cm e é irracional.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- No triângulo equilátero de lado 6 cm, a altura traçada do vértice ao ponto médio do lado oposto divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais. Cada um tem hipotenusa 6 cm (lado do triângulo) e um cateto de 3 cm (metade da base, pois o ponto é médio).
- Aplicando o teorema de Pitágoras, h^2 + 3^2 = 6^2, logo h^2 = 36 - 9 = 27.
- Então h = raiz de 27 = raiz de (9 · 3) = 3 · raiz de 3 = 3√3 cm, que é aproximadamente 5,196 cm.
- Como 3√3 não pode ser escrito como quociente de dois inteiros (a raiz de 3 é irracional e multiplicá-la por 3 não altera isso), o número é irracional. A alternativa A está correta.
- A alternativa B está errada porque 3 cm é a metade da base, não a altura. A alternativa C está errada porque a altura não é igual ao lado do triângulo. A alternativa D está errada porque 6√3 é o dobro da altura correta. A alternativa E está errada porque 3√2 não corresponde ao resultado do teorema de Pitágoras neste triângulo.
- O gabarito oficial (A) está correto e coincide com a resolução feita.
💡 Dica: Calcule a altura usando a fórmula para triângulos equiláteros.
Alternativa por alternativa
A altura de um triângulo equilátero divide a base de 6 cm em dois segmentos de 3 cm. Assim, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa de 6 cm e um cateto de 3 cm. Pelo teorema de Pitágoras, h² + 3² = 6², então h² = 27 e h = √27 = 3√3 cm. Como √3 é irracional, 3√3 também é irracional.
O aluno confunde a altura com a metade da base, tomando o cateto de 3 cm como se fosse a própria altura, sem aplicar Pitágoras.
O aluno supõe que a altura de um triângulo equilátero é igual ao seu lado, como se a altura fosse 'o lado de cima' do triângulo.
O aluno calcula corretamente o termo raiz de 3 mas esquece de dividir a base por 2 no cateto, chegando a h = 6√3 (ou seja, usa o lado inteiro em vez da metade).
O aluno faz um cálculo incorreto ao extrair a raiz, obtendo h^2 = 18 em vez de 27, o que leva a 3√2; pode ter usado a relação de triângulo retângulo isósceles, que não se aplica aqui.
Raio-X da questão
altura de triângulo equilátero
avaliacao
altura de triângulo equilátero · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos equiláteros e cálculo de altura.
Confundir a altura com a medida de um dos lados do triângulo, escolhendo uma alternativa que não considera a relação entre os lados e a altura.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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