Em uma competição de Matemática, os participantes precisam calcular a altura de um triângulo equilátero cujo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma competição de Matemática, os participantes precisam calcular a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 4 cm. Qual é a altura desse triângulo e como deve ser classificado o número que representa essa medida?
- A) 4√3 cm; número irracional.
- B) 2 cm; número racional.
- C) 4 cm; número racional.
- D) 3 cm; número racional.
- E) 2√3 cm; número irracional.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Em um triângulo equilátero de lado L, a altura h é dada pelo teorema de Pitágoras aplicado a um dos dois triângulos retângulos formados ao traçar a altura. A altura divide a base ao meio, gerando metade da base igual a 2 cm.
- Na hipotenusa de lado 4 cm (lado do triângulo original), temos: 4^2 = h^2 + 2^2, ou seja, 16 = h^2 + 4, logo h^2 = 12.
- Extraindo a raiz quadrada: h = raiz de 12 = raiz de (4 x 3) = 2 raiz de 3 cm. Como 3 não é quadrado perfeito, raiz de 3 é irracional, e o produto de 2 (racional não nulo) por raiz de 3 também é irracional. Portanto a altura é 2√3 cm, aproximadamente 3,46 cm, um número irracional.
- Por que as outras estão erradas: A) 4√3 cm é o dobro da altura correta, resultado de confundir a altura com a medida de um lado multiplicado por raiz de 3 sem dividir por 2; B) 2 cm é a metade da base, não a altura; C) 4 cm é o próprio lado do triângulo, não a altura; D) 3 cm não satisfaz o teorema de Pitágoras, pois 3^2 + 2^2 = 13, diferente de 16.
- Conclusão: a altura é 2√3 cm e é um número irracional, o que confirma o gabarito E.
💡 Dica: Calcule a altura usando a fórmula do triângulo equilátero.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente aplicou a fórmula da altura como se fosse L√3 em vez de (L√3)/2, ou seja, esqueceu de dividir por 2 ao final do cálculo.
O aluno tomou a metade da base (2 cm) como sendo a altura, sem perceber que a altura é o segmento perpendicular que forma o triângulo retângulo com essa metade.
Por que engana: Confundir a altura com a medida de um dos lados do triângulo, escolhendo uma alternativa que representa um lado em vez da altura.
O aluno assumiu que a altura de um triângulo equilátero coincide com a medida do lado, talvez por intuição visual de que o triângulo tem 'altura igual à base'.
O aluno chutou um valor inteiro próximo da altura real ou fez a conta de forma incorreta, e ainda classificou como racional sem verificar que 3 não satisfaz o teorema de Pitágoras.
Ao traçar a altura, o triângulo equilátero fica dividido em dois triângulos retângulos com hipotenusa de 4 cm e um dos catetos de 2 cm. Pelo teorema de Pitágoras, h² + 2² = 4², então h² = 12 e h = √12 = 2√3 cm. Como √3 é irracional, 2√3 também é um número irracional.
Raio-X da questão
altura do triângulo equilátero
avaliacao
altura de triângulos · triângulo equilátero
Revisar as propriedades dos triângulos equiláteros e como calcular sua altura.
Confundir a altura com a medida de um dos lados do triângulo, escolhendo uma alternativa que representa um lado em vez da altura.
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