Na aula, uma turma desenhou um campo quadrado com lado de 10 metros. Ao calcular a diagonal, encontrou 10v2…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na aula, uma turma desenhou um campo quadrado com lado de 10 metros. Ao calcular a diagonal, encontrou 10v2 metros. Por que essa medida é irracional?
- A) Porque a diagonal é o dobro do lado.
- B) Porque o lado mede 10 metros.
- C) Porque todo quadrado tem medida irracional.
- D) Porque a medida tem uma casa decimal.
- E) Porque √2 não pode ser escrito como fração exata.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal d de um quadrado de lado 10 satisfaz d^2 = 10^2 + 10^2 = 200, então d = raiz de 200 = raiz de (100 x 2) = 10 raiz de 2 metros, que é a medida encontrada pela turma.
- Um número é racional quando pode ser escrito como fração a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero. Um número é irracional quando não pode ser escrito dessa forma, e sua representação decimal é infinita e não periódica.
- A raiz de 2 é irracional. A demonstração clássica supõe que raiz de 2 = p/q em forma irredutível, chega a p e q ambos pares e contradiz a suposição. Logo raiz de 2 não pode ser escrito como fração exata.
- Multiplicar um racional não nulo (como 10) por um irracional (raiz de 2) produz sempre um irracional. Portanto 10 raiz de 2 é irracional, e a justificativa correta é a alternativa E.
- Por que as outras estão erradas: A) dobrar o lado não torna a medida irracional, e o dobro do lado seria 20, que nem é a diagonal; B) o lado de 10 metros é um número inteiro, portanto racional, e não explica a irracionalidade; C) nem todo quadrado tem medida irracional, pois um quadrado de lado 10 tem lado racional; D) ter uma casa decimal é característica de números racionais finitos, e a irracionalidade depende de a expansão decimal ser infinita e não periódica, não do número de casas.
💡 Dica: Considere as características dos números racionais e irracionais.
Alternativa por alternativa
Acredita que a relação entre diagonal e lado (dobro) é o que torna a medida irracional, confundindo a relação geométrica com a natureza do número.
Por que engana: Confundir a definição de números racionais com a ideia de que todas as medidas devem ser exatas e inteiras.
Pensa que um lado de medida inteira faz a diagonal ser irracional, sem perceber que o lado inteiro é racional e a irracionalidade vem do fator raiz de 2.
Generaliza indevidamente, supondo que todo quadrado tem medida irracional, quando a irracionalidade depende das medidas específicas de cada quadrado.
Confunde número decimal com número irracional, achando que ter uma casa decimal define a irracionalidade, quando decimais finitos são racionais e a irracionalidade exige expansão infinita não periódica.
A diagonal é 10√2. Como √2 é irracional, multiplicá-lo por 10 também resulta em um número irracional.
Raio-X da questão
números racionais e irracionais
diagnostico
números racionais e irracionais · medidas e perímetros
Revisar as definições de números racionais e irracionais.
Confundir a definição de números racionais com a ideia de que todas as medidas devem ser exatas e inteiras.
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