Durante a revitalização de uma praça, uma equipe de arquitetura projetou uma área de convivência com formato…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a revitalização de uma praça, uma equipe de arquitetura projetou uma área de convivência com formato quadrado. O lado dessa área mede 10 m. Para instalar uma faixa de iluminação atravessando a praça de um vértice ao vértice oposto, é necessário determinar o comprimento da diagonal. Considere que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Com base nas informações do projeto, qual é o comprimento da diagonal da área quadrada e como esse número é classificado quanto à sua racionalidade?
- A) 100 m e racional.
- B) 10 m e racional.
- C) 20 m e irracional.
- D) 10√2 m e irracional.
- E) 5√2 m e irracional.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo retângulo formado pela diagonal. Ao traçar a diagonal de um quadrado, ela divide o quadrado em dois triângulos retângulos iguais, em que os catetos são os dois lados do quadrado, ambos de 10 m, e a hipotenusa é a diagonal. Passo 2: Aplique o Teorema de Pitágoras: d^2 = 10^2 + 10^2, ou seja, d^2 = 100 + 100 = 200. Passo 3: Extraia a raiz quadrada: d = raiz de 200. Como 200 = 100 x 2, temos d = raiz de 100 x raiz de 2 = 10 raiz de 2 m. Passo 4: Classifique o número. Raiz de 2 é um número irracional, pois não é a razão de dois inteiros (é uma dízima não periódica, aproximadamente 1,41421). Multiplicar um irracional por 10 (um racional não nulo) continua resultando em irracional. Logo, 10 raiz de 2 m é irracional, com valor aproximado de 14,14 m. Passo 5: Compare com o gabarito. A alternativa D, 10 raiz de 2 m e irracional, está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa A confunde a diagonal com a área do quadrado (10 x 10 = 100) e ainda erra a classificação; a alternativa B supõe que a diagonal teria o mesmo comprimento do lado, o que é impossível, pois a diagonal é sempre maior que o lado; a alternativa C soma os lados (10 + 10 = 20), método que não corresponde ao Teorema de Pitágoras e produz um número inteiro, portanto racional; a alternativa E divide a diagonal por dois, erro de método, já que 5 raiz de 2 seria apenas metade da diagonal.
💡 Dica: Calcule a diagonal usando o teorema de Pitágoras.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou a área do quadrado (10 x 10 = 100) em vez do comprimento da diagonal, trocando a grandeza pedida e a unidade correta (m^2 por m).
Por que engana: Confundir a diagonal com o comprimento do lado do quadrado, escolhendo a alternativa A.
O aluno acredita intuitivamente que a diagonal tem o mesmo comprimento do lado, sem aplicar o Teorema de Pitágoras, e por isso classifica o resultado como racional.
O aluno soma os dois lados (10 + 10 = 20) como se a diagonal fosse o caminho pelos lados, e ainda classifica 20 como irracional, quando é um inteiro e portanto racional.
A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos com catetos de 10 m. Pelo teorema de Pitágoras, d² = 10² + 10² = 200. Portanto, d = √200 = 10√2 m. Como √2 é irracional e 10 é racional não nulo, o produto 10√2 também é irracional.
O aluno calcula corretamente a raiz de 200 como 10 raiz de 2, mas depois divide por 2, acreditando que a diagonal é a metade do valor encontrado, o que confunde a diagonal com a metade dela.
Raio-X da questão
diagonal de quadrado
avaliacao
teorema de pitagoras · propriedades de quadrados
Revisar o cálculo da diagonal de quadrados e propriedades de números racionais e irracionais.
Confundir a diagonal com o comprimento do lado do quadrado, escolhendo a alternativa A.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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