A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional?
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional?
- A) Sim, sempre.
- B) Não, nunca.
- C) Às vezes, sim.
- D) Sim, se forem iguais.
- E) Não, somente se forem diferentes.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Para responder, basta procurar um contraexemplo. Se encontrarmos dois irracionais cuja soma é racional, a afirmação 'sempre irracional' cai.
- Considere raiz de 2 (irracional) e menos raiz de 2 (também irracional). A soma é raiz de 2 + (menos raiz de 2) = 0, que é racional.
- Considere agora raiz de 2 e (1 menos raiz de 2), que também é irracional, pois differs de raiz de 2 por um número racional. A soma é 1, que é racional.
- Por outro lado, raiz de 2 + raiz de 3 é irracional, então a soma também pode ser irracional. Logo, a soma de dois irracionais às vezes é irracional e às vezes não é, ou seja, a resposta correta é 'Às vezes, sim'.
- A alternativa A está errada, porque o contraexemplo acima mostra que a soma pode ser racional. A alternativa B está errada, porque raiz de 2 + raiz de 3 mostra que a soma pode ser irracional. A alternativa D está errada, porque a condição 'se forem iguais' não responde à pergunta geral, e a soma de dois números iguais é sempre irracional, o que não cobre o caso de números diferentes. A alternativa E está errada, porque números diferentes podem ter soma racional, como no exemplo do passo 3, e números iguais também podem ser usados em outras situações sem afetar a conclusão.
- Conclusão: o gabarito oficial C está correto. Não há discordância com o gabarito.
💡 Dica: Considere exemplos de números irracionais para responder.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que irracional mais irracional sempre resulta em irracional, por analogia com a soma de racionais, que sempre é racional.
Por que engana: O aluno pode acreditar que a soma de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional, ignorando casos específicos onde a soma pode ser racional.
O aluno generaliza a ideia de que a soma de irracionais nunca é irracional, talvez por confundir 'pode ser racional' com 'nunca é irracional', sem testar exemplos como raiz de 2 + raiz de 3.
Exatamente, depende dos números envolvidos.
O aluno percebe que a soma de dois números iguais (por exemplo, raiz de 2 + raiz de 2 = 2 raiz de 2) é irracional e conclui, de forma incorreta, que essa condição resolve a pergunta geral, sem considerar pares diferentes.
O aluno inverte a condição: acredita que a soma de irracionais diferentes é sempre racional, quando na verdade a soma pode ser racional ou irracional, e números iguais têm soma sempre irracional.
Raio-X da questão
soma de números irracionais
diagnostico
números irracionais · soma de números
Revisar as propriedades da soma de números irracionais.
O aluno pode acreditar que a soma de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional, ignorando casos específicos onde a soma pode ser racional.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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