Atividades de relações métricas, Pitágoras e proporcionalidade para a 3ª série com gabarito

Ao ensinar relações métricas e trigonometria na 3ª série, procuro aproximar os cálculos de situações que permitam interpretar medidas: distâncias entre pontos, sombras, diagonais e lados de triângulos. Na prática, o desafio é ajudar a turma a reconhecer quais dados se relacionam e qual ferramenta matemática atende ao problema, sem escolher uma fórmula apenas porque ela é familiar.

As oito questões a seguir passam por semelhança, proporção, razões trigonométricas, leis dos senos e dos cossenos e teorema de Pitágoras. A ficha do conjunto também cita paralelas e transversais, mas as questões apresentadas não trazem um exercício específico desse conteúdo; por isso, mantenho o foco no que os itens efetivamente avaliam.

O que o aluno de 3ª série precisa saber sobre relações métricas, Pitágoras e proporcionalidade

Na 3ª série, o aluno precisa interpretar a configuração geométrica antes de calcular: identificar os lados e ângulos conhecidos, reconhecer triângulos retângulos ou semelhantes e relacionar cada medida ao que se pede. Em triângulos retângulos, deve aplicar Pitágoras para encontrar a hipotenusa ou um cateto; em situações de mesma incidência solar, pode usar a semelhança e a proporção entre altura e sombra. Para triângulos não necessariamente retângulos, as questões também mobilizam a lei dos senos e a lei dos cossenos: é preciso associar corretamente lados e ângulos e substituir os dados na relação adequada. A turma ainda precisa operar com razões trigonométricas básicas, interpretar aproximações e conferir se o resultado é coerente com o desenho ou com o contexto. Nas tarefas experimentais, medir, comparar e registrar evidências pode apoiar a compreensão, mas a verificação não substitui a justificativa matemática. Essa articulação corresponde ao trabalho de resolução e investigação de problemas envolvendo relações métricas e trigonometria.

O que ele precisa saber antes

Antes de propor os exercícios, vale retomar os conhecimentos prévios que aparecem nas questões: propriedades básicas dos triângulos; triângulos retângulos; semelhança; razão e proporção, incluindo regra de três; e trigonometria básica. Para os itens sobre distâncias em triângulos, a turma precisa reconhecer a lei dos senos e a lei dos cossenos. Para o item sobre a classificação de √10, é necessário distinguir números racionais e irracionais. Uma revisão breve com um esquema de lados e ângulos nomeados costuma ajudar a deixar claro o significado de cada dado antes de começar a substituir valores.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente indicado nas questões é confundir os dados geométricos ou aplicar uma relação sem conferir se ela responde ao que foi pedido. Na lei dos senos, por exemplo, é essencial relacionar cada lado ao seno do ângulo oposto; trocar esses pares altera o cálculo. Na lei dos cossenos, esquecer o cosseno do ângulo ou o sinal do termo pode produzir distâncias incompatíveis com o triângulo.

Nos problemas de sombras, a dificuldade apontada é inverter a proporção entre altura e comprimento da sombra. Escrever as duas razões na mesma ordem — altura sobre sombra — ajuda a evitar esse deslize. No item de Pitágoras, o distrator mais plausível registrado na ficha é a alternativa B, embora ela seja a resposta correta; esse dado contradiz a própria questão e deve ser ignorado. O erro típico descrito, que é coerente com o enunciado, é somar diretamente os catetos em vez de elevar as medidas ao quadrado e extrair a raiz. Também vale observar quando o aluno confunde a diagonal com um dos lados ou usa subtração simples sem relação com a configuração.

Como trabalhar em sala

• Desenhar e nomear antes de calcular: peça que a turma represente cada situação, marque os ângulos conhecidos e indique a medida solicitada. Em seguida, os estudantes escolhem a relação matemática e justificam a escolha.
• Comparar estratégias para sombras: apresente os dados do bastão e do edifício e solicite que os grupos montem a proporção altura/sombra. A discussão pode se concentrar em manter a mesma ordem nos dois quocientes.
• Fazer uma verificação experimental simples: com um objeto vertical, uma régua ou fita métrica e as sombras disponíveis no pátio, os estudantes podem medir e comparar razões. Registrem as condições de observação e discutam por que a semelhança depende de considerar raios solares paralelos.
• Contrastar Pitágoras e leis dos cossenos: proponha que a turma observe quando há ângulo reto e quando o problema fornece outro ângulo. Uma tabela com dados, relação escolhida e motivo ajuda a tornar explícita a diferença.
• Usar os distratores como diagnóstico: em vez de marcar apenas certo ou errado, peça que a turma identifique o procedimento que poderia levar a cada alternativa. Isso torna visíveis confusões entre soma de lados, proporção invertida e correspondência entre ângulos e lados.

Questões prontas de relações métricas, Pitágoras e proporcionalidade para a 3ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As questões abaixo foram mantidas com seus dados e alternativas. Em cada item, o comentário explica a resposta e esclarece por que as demais opções não atendem ao cálculo. Há uma inconsistência na explicação original da questão 5: a conta confirma a alternativa A, portanto o gabarito abaixo segue o cálculo matemático.

1. Distância entre pontos em margens de um rio

Helena e Paulo estão nos pontos A e C, separados por 100 m de trilha reta. Os ângulos entre a trilha e as linhas de visada para B são 60° em A e 45° em C. Qual é a distância aproximada entre C e B?

• ❌ A) 80 m. Esse valor pode surgir ao associar o seno de 45° ao lado CB; pela lei dos senos, CB deve corresponder ao ângulo oposto de 60°.
• ✅ B) 90 m. O terceiro ângulo mede 75°. Pela lei dos senos, CB/sen 60° = 100/sen 75°, então CB ≈ 89,7 m, ou aproximadamente 90 m.
• ❌ C) 85 m. A resposta supõe uma igualdade de lados que não é justificada pelos ângulos; o triângulo não é isósceles.
• ❌ D) 95 m. A associação entre o lado procurado e o seno usado está incorreta; CB fica oposto a 60°, não a 45°.
• ❌ E) 100 m. Esse é o comprimento de AC, não de CB. Os lados têm de ser distinguidos na aplicação da lei dos senos.

Gabarito comentado: calculamos primeiro o ângulo em B, 180° − 60° − 45° = 75°, e depois aplicamos a lei dos senos com os pares corretos.

2. Distância direta entre três torres

As torres A e B estão separadas por 1 200 m, e B e C distam 1 500 m. O ângulo em B entre as direções de A e C é 75°. Qual é a distância aproximada entre A e C?

• ❌ A) Cerca de 1 145 m. Não corresponde à aplicação adequada da lei dos cossenos aos dois lados e ao ângulo incluído; usar uma relação ou ângulo inadequado reduz demais o resultado.
• ✅ B) Cerca de 1 660 m. Pela lei dos cossenos, AC² = 1 200² + 1 500² − 2·1 200·1 500·cos 75°, o que fornece aproximadamente 1 660 m.
• ❌ C) Cerca de 2 700 m. É a soma dos lados AB e BC, mas a distância direta AC é o terceiro lado do triângulo, não o percurso passando por B.
• ❌ D) Cerca de 1 950 m. O valor decorre de tratar incorretamente o termo do cosseno e superestima a distância.
• ❌ E) Cerca de 930 m. A subtração 1 500 − 1 200 ignora o ângulo entre os lados e não determina AC.

Gabarito comentado: como são conhecidos dois lados e o ângulo compreendido entre eles, a lei dos cossenos é a ferramenta adequada.

3. Altura de um edifício pela sombra

Um bastão vertical de 2,0 m projeta uma sombra de 1,5 m. No mesmo instante, um edifício projeta uma sombra de 45 m. Qual é a altura aproximada do edifício?

• ✅ A) 60 m. Os triângulos formados são semelhantes: 2/1,5 = h/45. Assim, h = 2·45/1,5 = 60 m.
• ❌ B) 90 m. Esse resultado não mantém corretamente a proporção entre altura e sombra e fica 1,5 vez maior que o valor calculado.
• ❌ C) 45 m. Esse é o comprimento da sombra do edifício, não sua altura.
• ❌ D) 75 m. Não resulta da proporção altura/sombra estabelecida pelos dados do bastão e do edifício.
• ❌ E) 30 m. É metade da altura obtida pela proporção correta; a correspondência entre as medidas foi montada ou calculada incorretamente.

Gabarito comentado: a semelhança permite igualar as razões entre altura e sombra, pois as medidas foram observadas no mesmo instante.

4. Distância entre vilarejos com ângulo de 120°

As rotas de A a B e de A a C medem, respectivamente, 12 km e 9 km. O ângulo entre elas em A é 120°. Qual é a distância aproximada entre B e C?

• ❌ A) Aproximadamente 8,1 km. Subtrair os lados ou seus quadrados não corresponde à relação adequada para os dados apresentados.
• ✅ B) Aproximadamente 18,3 km. Pela lei dos cossenos, BC² = 12² + 9² − 2·12·9·cos 120° = 333; portanto, BC ≈ √333 ≈ 18,3 km.
• ❌ C) Aproximadamente 15,0 km. Esse valor vem de √(12² + 9²), como se o ângulo fosse reto; o ângulo informado é 120°.
• ❌ D) Aproximadamente 21,0 km. A conta trata o termo associado ao cosseno como se fosse simplesmente 2·12·9 e não considera corretamente o valor de cos 120°.
• ❌ E) Aproximadamente 10,8 km. O erro de sinal produz uma operação incompatível com a lei dos cossenos para o ângulo informado.

Gabarito comentado: como cos 120° = −1/2, o termo subtraído na fórmula acaba aumentando o valor de BC². Isso explica por que o lado oposto ao ângulo obtuso é maior que os lados conhecidos.

5. Altura de uma árvore a partir de outra sombra

Às 15h, uma árvore de 3 m projeta uma sombra de 2 m. Qual é a altura de outra árvore que, no mesmo horário, projeta uma sombra de 1,5 m?

• ✅ A) 2,25 m. Mantendo a razão altura/sombra: 3/2 = h/1,5. Logo, h = 3·1,5/2 = 2,25 m.
• ❌ B) 4,5 m. Esse resultado não mantém a proporção correta entre altura e sombra; é o dobro do valor calculado.
• ❌ C) 3,75 m. Apesar de a explicação original associada a essa alternativa afirmar que seria o resultado correto, a proporção mostra que a altura é 2,25 m.
• ❌ D) 5 m. Esse valor não é obtido da razão altura/sombra fornecida e é muito maior que o resultado proporcional.
• ❌ E) 1 m. A medida não respeita a razão 3/2 entre altura e sombra.

Gabarito comentado: a alternativa correta é A. A explicação da ficha que chama A de incorreta e indica C como correta contradiz os dados: a conta direta confirma 2,25 m.

6. Altura e sombra com ângulo de 45°

Ao meio-dia, a sombra de Pedro mede 1,5 m. Se a luz do Sol forma um ângulo de 45° com o chão, qual é a altura de Pedro?

• ❌ A) 1,2 m. A tangente de 45° é 1; portanto, altura e sombra são iguais, não 1,2 m.
• ✅ B) 1,5 m. Como tan 45° = altura/sombra = 1, a altura tem a mesma medida que a sombra.
• ❌ C) 1,8 m. Esse valor não decorre da razão trigonométrica para o ângulo de 45° e a sombra informada.
• ❌ D) 2,0 m. A altura não pode ser obtida por estimativa: a relação indicada fornece 1,5 m.
• ❌ E) 2,5 m. Esse valor não corresponde à tangente de 45° aplicada à sombra de 1,5 m.

Gabarito comentado: no triângulo retângulo, tan 45° = altura/1,5. Como a tangente vale 1, resulta altura = 1,5 m.

7. Classificação de √10

Uma diagonal de retângulo mede √10 metros. Esse número é racional ou irracional?

• ❌ A) Racional. √10 não pode ser escrito como razão de dois inteiros; sua representação decimal é infinita e não periódica.
• ✅ B) Irracional. Como 10 não é um quadrado perfeito, √10 é irracional.
• ❌ C) Inteiro. √10 não é um número inteiro, pois seu valor está entre 3 e 4.
• ❌ D) Decimal exato. A representação decimal de √10 não termina nem apresenta período repetitivo.
• ❌ E) Número natural. Os naturais são inteiros não negativos, e √10 não é inteiro.

Gabarito comentado: reconhecer a natureza de √10 exige distinguir números irracionais de racionais e inteiros. A classificação correta é irracional.

8. Diagonal de uma área retangular

Uma área retangular mede 400 m de comprimento e 300 m de largura. Qual é a medida da diagonal?

• ❌ A) 600 m. Esse valor não resulta do teorema de Pitágoras; dobrar um cateto não determina a diagonal.
• ✅ B) 500 m. Os lados perpendiculares são os catetos: d² = 300² + 400² = 250 000. Portanto, d = 500 m.
• ❌ C) 100 m. A diferença entre os lados não determina a hipotenusa do triângulo formado.
• ❌ D) 700 m. Somar diretamente 300 e 400 ignora a relação quadrática de Pitágoras.
• ❌ E) 400 m. Esse é o maior lado do retângulo, mas a diagonal é maior que qualquer um dos lados.

Gabarito comentado: a diagonal divide o retângulo em triângulos retângulos; aplicando Pitágoras, obtemos a hipotenusa de 500 m.

Próximos passos

Use os itens para identificar quais relações precisam de retomada e peça aos estudantes que registrem o raciocínio, não apenas o resultado. Para montar outras atividades alinhadas à habilidade, consulte as questões da habilidade EM13MAT308. Você também pode preparar uma avaliação personalizada no gerador de provas do GeraProva e fazer o cadastro grátis.

As questões deste material servem como apoio à revisão e podem ser adaptadas ao planejamento e ao contexto da sua turma. Se quiser, use o GeraProva para criar uma prova com novos itens e gabarito comentado.